解析学 III メモ

本講義における定義，命題，定理等について，その内容を簡単にまとめたものです．本講義の流れを理解するための一助としていただければ幸いです．なお，\underline{Def.}, \underline{Th.}, \underline{Ex.} や \underline{Prop.} などの後にかっこ書きしてあるものは，教科書にある定義，定理などの番号である．

\underline{１．関数列の各点収束と一様収束}

解析学 I では数列（実数列）の収束を学び，数学通論 I では（おそらく）距離空間上の点列の収束を学んだ．ここでは，実数の部分集合 A 上で定義された関数の無限列 f_{1}(x), f_{2}(x), …, f_{n}(x), … の「収束」について学ぶ．

以下，しばらくは A ⊂ ℝ とし， {f_{n}(x)} を A 上の関数列とする．また， f(x) を A 上の関数とする．

\underline{Def.} \{f_{n}(x)\} が f(x) に A 上で各点収束する

⟺^{def} 「∀x_{0} ∈ A, ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ s.t. n ≥ N ⟹ |f_{n}(x_{0}) − f(x_{0})| < ε」

（⟺ ∀x_{0} ∈ A, lim_{n→∞} f_{n}(x_{0}) = f(x_{0})）

\underline{Ex. （例 7.1.1）}f_{n}(x) = x^{n}, A = [0, 1] とおくと，関数列 \{f_{n}(x)\} は A 上で

f(x) = \begin{cases}0 & (x ∈ [0, 1)) \\ 1 & (x = 1) \end{cases} に各点収束する．

{f_{n}(x)} が f(x) に A 上で各点収束することの定義における N は ε > 0 と x_{0} ∈ A に依存するが，もしも N が（x_{0} ∈ A に無関係に）_{∿}ε_{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} のみに依って決まる場合には， {f_{n}(x)} が f(x) に収束する「速さ」が一様であると言える．

\underline{Def. （定義 7.1.3）}\{f_{n}(x)\} が f(x) に A 上で一様収束する

⟺^{def} 「∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ s.t. ∀x ∈ A, (n ≥ N ⟹ |f_{n}(x_{0}) − f(x_{0})| < ε)」

これを f_{n}(x) ⇉ f(x) on A (n → ∞), f_{n} ⇉ f on A (n → ∞), lim_{n→∞} f_{n}(x) = f(x) （A 上

一様）などと書く．

{f_{n}(x)} が f(x) に A 上で一様収束することの定義における N は ε のみに依存する．定義から，一般に「一様収束 ⟹ 各点収束」は成り立つと分かるが，逆は一般に成り立たない．

\underline{Ex. （例 7.1.2）}f_{n}(x) = \frac{x}{1 + nx}, A = [0, ∞) とおくと，関数列 \{f_{n}(x)\} は A 上で f(x) ≡ 0

に一様収束する．

{f_{n}(x)} が f(x) に一様収束する（しない）ことを定義通りに示すスキルももちろん重要であるが，一様収束と同値な条件を理解し，使いこなすようになることも重要である．

\underline{Prop. （命題 7.1.4）}次の二つの命題は同値である．

1 ◯ f_{n}(x) ⇉ f(x) on A (n → ∞).

2 ◯ sup_{x∈A} |f_{n}(x) − f(x)| → 0 (n → ∞).

\underline{Ex. （命題 7.1.5）}f_{n}(x) = \frac{sin nx}{n} とおくと，関数列 \{f_{n}(x)\} は ℝ 上で f(x) ≡ 0 に一様収束する．

\underline{Th. （コーシーの判定法）（定理 7.1.7）}次の二つの命題は同値である．

1 ◯ {f_{n}(x)} が（ある関数に） A 上で一様収束する． 2 ◯ ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ s.t. ∀x ∈ A, (m, n ≥ N ⟹ |f_{m}(x) − f_{n}(x)| < ε).

次の定理は，「連続関数列の一様収束極限は連続である」ということを主張している．以下， {f_{n}(x)} が区間 I ⊂ ℝ 上の連続関数列であることを， {f_{n}} ⊂ C(I) と書くことにする．

\underline{Th. （定理 7.2.1）}^{1} I ⊂ ℝ を区間とする．もし \{f_{n}\} ⊂ C(I) かつ f_{n}(x) ⇉ f(x) on I (n → ∞) であれば， f ∈ C(I) である．

この定理を用いると，関数列が一様収束しないことを簡単に示せることがある．

\underline{Ex. （例 7.2.2）}f_{n}(x) = x^{n} とおくと，関数列 \{f_{n}(x)\} は I = [0, 1] 上で f(x) = \begin{cases}0 & (x ∈ [0, 1)) \\ 1 & (x = 1) \end{cases}

に各点収束していたが，一様収束しない．なぜなら，もし {f_{n}(x)} が I 上で一様収束するならば，各 f_{n}(x) は I 上で連続だから，極限関数 f(x) は I 上で連続であるが， f(x) は x = 1 で連続ではないからである．

\underline{Th. （ディニの定理）（定理 7.2.3）} \{f_{n}\} ⊂ C([a, b]), f ∈ C([a, b]) とし， f_{1}(x) ≤ f_{2}(x) ≤ ⋯ ≤ f_{n}(x) ≤ ⋯ (∀x ∈ [a, b]) または f_{1}(x) ≥ f_{2}(x) ≥ ⋯ ≥ f_{n}(x) ≥ ⋯ (∀x ∈ [a, b]) であると仮定する．もし {f_{n}(x)} が f(x) に [a, b] 上で各点収束するならば， {f_{n}(x)} は f(x) に [a, b] 上で一様収束する．

ディニの定理において，_{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} 閉区間[a, b] 上で_{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} 単調増加（または単調減少）な連続関数列 {f_{n}(x)} が ∿ _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} 連続関数f(x) に各点収束していると仮定しているが，波線の仮定を落とすことはできない（演習問題を参照）．

先程の例にあった f_{n}(x) = x^{n} において，関数列 {f_{n}(x)} は開区間 (0, 1) 上では一様収束しないが，任意の a, b ∈ (0, 1) （ただし a < b）に対して {f_{n}(x)} は閉区間 [a, b] 上で（f(x) ≡ 0 に）一様収束する．このような一様収束より「少し弱い」収束の概念を定義する．

\underline{Def.} I ⊂ ℝ を区間とし， \{f_{n}(x)\} を I 上の関数列， f(x) を I 上の関数とする．

{f_{n}(x)} は f(x) に I 上で広義一様収束（コンパクト一様収束）する

⟺^{def} I に含まれる任意の閉区間 [a, b] に対して f_{n}(x) ⇉ f(x) on [a, b] (n → ∞) が成り立つ

\underline{Ex.} f_{n}(x) = x^{n} とおくと， \{f_{n}(x)\} は f(x) ≡ 0 に (0, 1) 上で一様収束しないが， (0, 1) 上で広義一様収束する． \underline{Cor.} I ⊂ ℝ を区間とする．もし \{f_{n}\} ⊂ C(I) かつ \{f_{n}(x)\} が f(x) に I 上で広義一様収束するならば， f ∈ C(I) である．

1教科書では「{f_{n}(x)} を A 上連続な関数の列とする．」と書いていますが，通常は関数の連続性は区間の上で考えるので，ここでは {f_{n}(x)} を区間 I 上の関数列であるとしています．

\underline{Ex.} f_{n}(x) = (1 + \frac{x}{n})^{n}, f(x) = e^{x} とおくと， \{f_{n}(x)\} は f(x) に [0, ∞) 上で広義一様収束する．

次に，極限と積分の交換，極限と微分の交換について考える．

\underline{● lim_{n→∞}f_{n}(x) = f(x) (∀x ∈ [a, b]) ならば lim_{n→∞}∫_{a}^{b} f_{n}(x) dx = ∫_{a}^{b} f(x) dx か？}

例えば， f_{n}(x) = \begin{cases}n^{2}x & (0 ≤ x ≤ \frac{1}{2n}) \\ n(1 − nx) & (\frac{1}{2n} ≤ x ≤ \frac{1}{n}) \\ 0 & (\frac{1}{n} ≤ x ≤ 1) \end{cases} とおくと， \{f_{n}(x)\} は [0, 1] 上で f(x) ≡ 0

に各点収束する．しかし， lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(x) dx = \frac{1}{2} ≠ 0 = ∫_{0}^{1} f(x) dx である．

それでは，極限と積分の交換が可能であるための十分条件は何であるか？実は，関数列の一様収束性がポイントとなる.

\underline{Th. （定理 7.3.2）}\{f_{n}\} ⊂ C([a, b]) かつ f_{n}(x) ⇉ f(x) on [a, b] (n → ∞) であるならば，

lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} f_{n}(x) dx = ∫_{a}^{b} f(x) dx が成り立つ．

上の定理において，仮定が成り立つならば f ∈ C([a, b]) であることに注意する．

問上の定理と同じ仮定の下で， g_{n}(x) = ∫_{a}^{x} f_{n}(t) dt, g(x) = ∫_{a}^{x} f(t) dt (n ∈ ℕ, x ∈ [a, b]) とおくとき， g_{n}(x) ⇉ g(x) on [a, b] (n → ∞) であることを示せ．

\underline{Rem.} 閉区間 [a, b] の代わりに無限区間 [a, ∞) にして， \{f_{n}\} ⊂ C([a, ∞)) かつ f_{n}(x) ⇉

f(x) on [a, ∞) (n → ∞) であり，任意の n ∈ ℕ に対して広義積分 ∫_{a}^{∞} f_{n}(x) dx が収束し

たとしても， lim_{n→∞} ∫_{a}^{∞} f_{n}(x) dx = ∫_{a}^{∞} f(x) dx が成り立つとは限らない．

\underline{● lim_{n→∞}f_{n}(x) = f(x) (∀x ∈ [a, b]) ならば lim_{n→∞}f_{n}′(x) = f′(x) か？}

p.2 にある例で見たように， f_{n}(x) = \frac{sin nx}{n} とおくと， \{f_{n}(x)\} は f(x) ≡ 0 に ℝ 上で一様収束する．しかし， f_{n}′(x) = cos nx であるから， lim_{n→∞} f_{n}′(0) = 1 ≠ 0 = f′(0) であるから， lim_{n→∞} f_{n}′(x) = f′(x) は成り立たない．

それでは，極限と微分の交換が可能であるための十分条件は何であるか？関数列 {f_{n}(x)} の一様収束では不十分で，関数列 {f_{n}′(x)} の一様収束性がポイントとなる．以下， {f_{n}(x)} が区間 I ⊂ ℝ 上の C^{1} 級関数列であることを， {f_{n}} ⊂ C^{1}(I) と書くことにする． \underline{Th. （定理 7.3.4）}\{f_{n}\} ⊂ C^{1}(I) であり， \{f_{n}(x)\} は I 上の関数 f(x) に I 上で各点収束し， {f_{n}′(x)} は I 上の関数 g(x) に I 上で一様収束すると仮定する．このとき， {f_{n}(x)} は I 上で f(x) に広義一様収束し， f ∈ C^{1}(I) であり， f′(x) = g(x) (= lim_{n→∞} f_{n}′(x)) (∀x ∈ I) が成り立つ．

\underline{Rem.} (i) 上の定理において，「\{f_{n}(x)\} は I 上の関数 f(x) に I 上で各点収束し」を，「ある a ∈ I が存在して，極限値 lim_{n→∞} f_{n}(a) が存在し」に変えても結論は成立する．

(ii) 上の定理において，「{f_{n}′(x)} は I 上の関数 g(x) に I 上で一様収束する」を，「{f_{n}′(x)} は I 上の関数 g(x) に I 上で広義一様収束する」に変えても結論は成立する．

\underline{２．関数項級数とべき級数（整級数）}

1 年次の解析学 I では，数列 {a_{n}} から級数 ∑_{n=1}^{∞} a_{n} を考えた．同様にして，関数列 {f_{n}(x)} から関数項級数 ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) を考えることができる．関数項級数についても，関数列の場合と同様に各点収束，一様収束が定義できる． \underline{Def.} A ⊂ ℝ とし， \{f_{n}(x)\} を A 上の関数列とする．

∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) が A 上で各点収束（一様収束，広義一様収束）する

⟺^{def} s_{n}(x) = ∑_{k=1}^{n} f_{k}(x) (n ∈ ℕ) とおくとき，関数列 {s_{n}(x)} がある関数 s(x) に A 上で各点収束（一様収束，広義一様収束）する

このとき， s(x) = ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) と書く．

\underline{Ex.} f_{n}(x) = x^{n}, I = (−1, 1) とおく．

1 ◯ ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) = ∑_{n=1}^{∞} x^{n} は I 上で各点収束し， ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) = \frac{x}{1 − x} である．

2 ◯ ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) は I 上で一様収束しない．

3 ◯ ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) は I 上で広義一様収束する．

関数列に対する性質は，関数項級数に対しても成立する． \underline{Prop. （命題 7.4.2）}A ⊂ ℝ とし， \{f_{n}(x)\} を A 上の関数列とする．次の二つは同値である． 1 ◯ 関数項級数 ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) が A 上で（ある関数に）一様収束する．

2 ◯ sup_{x∈A} | ∑_{k=n+1}^{∞} f_{k}(x)| → 0 (n → ∞).

\underline{Prop. （コーシーの判定法）（定理 7.4.3）} A ⊂ ℝ とし， \{f_{n}(x)\} を A 上の関数列とする．次の二つは同値である． 1 ◯ 関数項級数 ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) が A 上で（ある関数に）一様収束する．

2 ◯ ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ s.t. ∀x ∈ A, (n ≥ m ≥ N ⟹ |∑_{k=m}^{n} f_{k}(x)| < ε).

\underline{Th. （定理 7.4.4）}I ⊂ ℝ を区間とする．もし \{f_{n}\} ⊂ C(I) かつ s(x) = ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) が I 上

で一様収束するならば， s ∈ C(I) である． \underline{Rem.} 上の定理において，「s(x) = ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) が I 上で一様収束する」を，「s(x) = ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) が I 上で広義一様収束する」に変えても結論は成立する．

ここで，関数項級数 ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) が一様収束することを保証する十分条件を述べる．次の定理は今後多くの場面で用いられることになる． \underline{Th. （ワイエルシュトラスの優級数定理（M-test））（定理 7.4.7）} A ⊂ ℝ とし， \{f_{n}(x)\}

を A 上の関数列とする．もしある数列 {M_{n}} が存在して sup_{x∈A} |f_{n}(x)| ≤ M_{n} (∀n ∈ ℕ)_{^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿}} かつ

∑_{n=1}^{∞} M_{n} が収束するならば，関数項級数 ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) は A 上で一様収束する． \underline{Rem.} 上の定理における波線部は「∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ A, |f_{n}(x)| ≤ M_{n}」とも書ける． \underline{Ex.} 関数項級数 ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin nx}{n^{2}} は ℝ 上で連続である．

関数項級数における「無限和と積分の交換」「無限和と微分の交換」は「項別積分」「項別微分」と呼ばれる．具体例についてはレポート問題や演習問題を参照のこと．

\underline{Th. （項別積分）（定理 7.4.5）} \{f_{n}\} ⊂ C ([a, b]) かつ ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) が [a, b] 上で一様収束する

ならば， ∑_{n=1}^{∞} ∫_{a}^{b} f_{n}(x) dx = ∫_{a}^{b} ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) dx が成り立つ．

\underline{Th. （項別微分）（定理 7.4.6）} \{f_{n}\} ⊂ C^{1}(I) であり， ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) は I 上で各点収束し，

∑_{n=1}^{∞} f_{n}′(x) は I 上で一様収束すると仮定する．このとき， s(x) = ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) は I 上で広義

一様収束し， s ∈ C^{1}(I) であり， s′(x) = (∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x))′ = ∑_{n=1}^{∞} f_{n}′(x) (∀x ∈ I) が成り立つ．

\underline{Rem.} (i) 上の定理において，「∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x)\} は I 上で各点収束し」を，「ある a ∈ I が存在して，級数 ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(a) が収束し」に変えても結論は成立する． (ii) 上の定理において，「∑_{n=1}^{∞} f_{n}′(x)} は I 上で一様収束する」を，「∑_{n=1}^{∞} f_{n}′(x)} は I 上で広義一様収束する」に変えても結論は成立する．

次に，関数項級数の特別な場合であるべき級数（整級数）について扱う．べき級数の収束・発散についてはきれいな理論がある． \underline{Def.} 関数項級数 ∑_{n=0}^{∞} f_{n}(x) で， f_{n}(x) = a_{n}(x − c)^{n} （ただし c ∈ ℝ, a_{n} ∈ ℝ）の形のものをべき級数（整級数）と呼ぶ．即ち，べき級数は

∑_{n=0}^{∞} a_{n}(x − c)^{n} = a_{0} + a_{1}(x − c) + a_{2}(x − c)^{2} + ⋯ + a_{n}(x − c)^{n} + ⋯

という形の関数項級数である．

\underline{Ex.} ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + ⋯ + \frac{x^{n}}{n!} + ⋯ はべき級数であり， ℝ 上で e^{x} に各点収束する．

\underline{Rem.} べき級数においては ∑_{n=1}^{∞} ではなく ∑_{n=0}^{∞} となっていることに注意せよ．また， x−c = X

とおけば ∑_{n=0}^{∞} a_{n}X^{n} となるから，最初から ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の形のべき級数について考えれば十分である．

べき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} に関して，ここでは主に次の二つの問題について考える． \underline{●べき級数は x がどの範囲にあるときに収束するか？} \underline{●べき級数の収束は一様収束であるか？項別積分・項別微分はできるか？}

まずは，べき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} が収束する範囲について考える．次に述べる収束半径の定義は教科書における定義とは異なることを注意する（その理由は講義で言及する）．

\underline{Def.} R = sup \{|x| | ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} が収束する\} をべき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束半径と呼ぶ．ただし，右辺にある上限が存在しない場合は R = ∞ と定める． \underline{Ex.} 1 ◯ ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} の収束半径は ∞ である． 2 ◯ ∑_{n=0}^{∞} x^{n} の収束半径は 1 である．

\underline{Lem. （アーベルの補題）（定理 7.8.1 の一部）} x_{0} ≠ 0 とする． 1 ◯ べき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} が x = x_{0} で収束するならば， |x| < |x_{0}| なるすべての x について

∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} は収束する．

2 ◯ べき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} が x = x_{0} で発散するならば， |x| > |x_{0}| なるすべての x について

∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} は発散する．

この補題を用いると，べき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束・発散について次のことが分かる． \underline{Cor.} べき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束・発散については，次の三つのいずれかが成立する．

1 ◯ 任意の x ∈ ℝ で収束する．（このとき，収束半径は ∞ である）

2 ◯ x = 0 のみで収束し，それ以外の x では発散する．（このとき，収束半径は 0 である）

3 ◯ ある R > 0 が存在して， |x| < R ならば（絶対）収束し，かつ |x| > R ならば発散する．（このとき，収束半径は R である）

この系により，べき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束半径の特徴付けが与えられたことになる．する

と，「収束半径 R はどうやって求められるのか？」「x = R, x = −R でのべき級数の収束・発散はどうなのか？」という疑問が生まれる．まずは前者の疑問に対して，特別な場合に R の値を与える式を述べる．それぞれ，解析学 I で学習した級数に対するダランベールの判定法，コーシーの判定法に基づいた表現公式である．

\underline{Th.} 1 ◯ lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = r とする（r = ∞ のときも考える）．このとき，べき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の

収束半径 R は R = \frac{1}{r} である．（ただし， r = 0 のときは R = ∞， r = ∞ のときは R = 0 とする）

2 ◯ lim_{n→∞} \sqrt[n]{|a_{n}|} = r とする（r = ∞ のときも考える）．このとき，べき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束

半径 R は R = \frac{1}{r} である．（ただし， r = 0 のときは R = ∞， r = ∞ のときは R = 0 とする）

\underline{Ex.} べき級数 ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n−1} \frac{x^{n}}{n} = x − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} − \frac{x^{4}}{4} + ⋯ の収束半径は 1 である．

この定理により，もしも極限値 lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | や lim_{n→∞} \sqrt[n]{|a_{n}|} が存在するならば，べき級数

∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束半径は求められる．しかし，_{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} 数列は収束するとは限らない．一般のべき級

数に対する収束半径の表現公式としてコーシー・アダマールの定理があるが，これを述べるためには「数列の上極限・下極限」の概念が必要である．数列の上極限・下極限についての説明や例は補足プリント No.1 をご参照いただき，ここでは数列の上極限・下極限の定義と諸性質について述べるにとどめる．

\underline{Def.} \{a_{n}\} を数列とする．

1 ◯ \{a_{n}\} が上に有界なとき， lim_{n→∞} (sup_{k≥n} a_{k}) を \{a_{n}\} の上極限といい， lim sup_{n→∞} a_{n} や\overline{lim}_{n→∞} a_{n} で表

す．ただし， lim_{n→∞} (sup_{k≥n} a_{k}) = −∞ のときは lim sup_{n→∞} a_{n} = −∞ と定める．また， {a_{n}} が上に有

界でないときは lim sup_{n→∞} a_{n} = ∞ と定める． 2 ◯ \{a_{n}\} が下に有界なとき， lim_{n→∞} ( inf_{k≥n} a_{k}) を \{a_{n}\} の下極限といい， lim inf_{n→∞} a_{n} や\underline{lim}_{n→∞} a_{n} で表す．ただし， lim_{n→∞} ( inf_{k≥n} a_{k}) = ∞ のときは lim inf_{n→∞} a_{n} = ∞ と定める．また， {a_{n}} が下に有界でないときは lim inf_{n→∞} a_{n} = −∞ と定める． \underline{Ex.} a_{n} = (−1)^{n−1} (n ∈ ℕ) とおくと， lim sup_{n→∞} a_{n} = 1 である． \underline{Prop.} \{a_{n}\} が有界列ならば， lim inf_{n→∞} a_{n} ≤ lim sup_{n→∞} a_{n} が成り立つ． \underline{Th. （定理 2.2.14）}\{a_{n}\} を有界列， α ∈ ℝ とする．このとき， lim sup_{n→∞} a_{n} = lim inf_{n→∞} a_{n} = α と lim_{n→∞} a_{n} = α は同値である． \underline{Rem.} 命題「lim sup_{n→∞} a_{n} = lim inf_{n→∞} a_{n} = ±∞ ⟺ lim_{n→∞} a_{n} = ±∞ （複号同順）」も真である． \underline{Th.} \{a_{n}\} を有界列， α ∈ ℝ とする．このとき， lim sup_{n→∞} a_{n} = α と次の「 1 ◯かつ 2 ◯」が成り立つことは同値である． 1 ◯ ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ s.t. n ≥ N ⟹ a_{n} < α + ε. 2 ◯ 任意の ε > 0 に対して， a_{n} > α − ε を満たす n ∈ ℕ が無限個存在する．

べき級数の話に戻り，収束半径を与えるコーシー・アダマールの定理を述べる．

\underline{Th. （定理 7.8.6）}べき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束半径 R は\frac{1}{R} = lim sup_{n→∞} \sqrt[n]{|a_{n}|} を満たす．た

だし，右辺が 0 のときは R = ∞，右辺が ∞ のときは R = 0 とみなす．

次に，「R をべき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束半径とするとき， x = R, x = −R でのべき級数の収束・発散はどうなのか？」という問題は後回しにして，先にべき級数の一様収束性，項別積分・項別微分について考える．結論を先に述べると，「べき級数は収束半径内で広義一様収束する」「べき級数は収束半径内で項別積分・項別微分が可能である」となる． \underline{Th.} べき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束半径を R とすると， ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} は (−R, R) 上で広義一様収束する．（R = ∞ のときは， ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} は ℝ 上で広義一様収束する）

\underline{Th. （項別積分）（定理 7.8.9）} f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束半径を R(≠ 0) とする．このとき，

∫_{0}^{x} f(t) dt (= ∫_{0}^{x} ∑_{n=0}^{∞} a_{n}t^{n} dt) = ∑_{n=0}^{∞} ∫_{0}^{x} a_{n}t^{n} dt = ∑_{n=0}^{∞} \frac{a_{n}}{n + 1}x^{n+1} (∀x ∈ (−R, R))

が成り立つ．また，右辺のべき級数の収束半径も R である． \underline{Th. （項別微分）（定理 7.8.9）} f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束半径を R(≠ 0) とする．このと

き， f ∈ C^{1}((−R, R)) であり， f′(x) = ∑_{n=1}^{∞} na_{n}x^{n−1} (∀x ∈ (−R, R)) が成り立つ．また，

右辺のべき級数の収束半径も R である． \underline{Rem.} 結局，べき級数 f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束半径を R(≠ 0) とすると， f ∈ C^{∞}((−R, R)) であることが分かる．

\underline{Cor. （定理 7.8.9）}f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束半径が 0 でなければ， a_{n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} である．

即ち，べき級数はその和のテイラー級数展開と一致する．

最後に， R をべき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束半径とするとき， x = R, x = −R でのべき級数

の収束・発散について考えよう．三つのべき級数 ∑_{n=0}^{∞} x^{n}, ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{n}, ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{n^{2}} を考えると，収束半径はどれも 1 であるが， x = ±1 での収束・発散の状況は異なる．この例のように，一般には x = ±R での収束するか発散するかについては分からないのであるが，もし ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n}

が x = R (or x = −R) で収束するならば，級数の和 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}R^{n} (or ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(−R)^{n}) について次のことが分かる．

\underline{Th. （アーベルの定理）（定理 7.7.4）} f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束半径を R (∈ (0, ∞)) とす

る．もし ∑_{n=0}^{∞} a_{n}R^{n} が収束するならば， f(x) は (−R, R] 上で連続である．特に，

∑_{n=0}^{∞} a_{n}R^{n} = f(R) = lim_{x→R−0} f(x) = lim_{x→∞} ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n}

が成り立つ． ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(−R)^{n} が収束する場合も同様の主張が成り立つ．

\underline{Ex.} p.8 にある例で見たように， ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} x^{n} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n + 1} x^{n+1} の収束半径は 1 である．

アーベルの定理を用いると

∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n + 1} = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} + ⋯ = log 2

であることが分かる．

上の例に関する詳しい議論は講義をご参照いただき，学生の皆さんにはレポート問題・演習問題を解くことにより練習を積むことを望む．

\underline{３．多変数関数の極限と連続性}

「関数」については中学で初めて登場し，さまざまな関数を学習してきた．これまで学習してきた関数は実数 x に対して実数 y を対応させる y = f(x) の形の 1 変数関数であったが，ここでは二つの実数 x, y に対して実数 z を対応させる z = f(x, y) の形の 2 変数関数（さらに，一般に n 変数関数）を扱う． 1 変数関数の性質を調べるために，連続性や微分・積分が有効であったが，今後多変数関数の連続性や微分・積分を学習するに当たって， 1 変数の場合とどこが似ていて，どこが異なっているかを意識して欲しい．

関数を可視化する方法の一つがグラフであるが，多変数関数のグラフを描くことは一般に難しい．最近ではコンピュータを用いて容易にグラフを描くことができるようになっているが，どうしてそのようなグラフになるか納得することは重要である．そして，\underline{代表的な関数} \underline{については，どのようなグラフになるかを是非とも知っていて欲しい}．例えば， z = ax+ by+c のように x, y の一次関数を用いて表せる関数のグラフは平面であり，逆に点 (x_{0}, y_{0}, z_{0}) を通り (α, β, γ) を法線ベクトルとする平面の方程式は α(x−x_{0})+β(y −y_{0})+γ(z −z_{0}) = 0 と 1 次式を用いて書き表すことができる．

一般に， n 変数関数は f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) と表すことができる．変数を x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) と 1 文字で表す（本講義では原則として太文字で表す）こともある．関数 f(x) の定義域 A は ℝ^{n} の部分集合である．

多変数関数について学習する前に，_{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} まずは_{∿} _{∿} _{∿} _{∿} ℝ^{n} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} の位相的性質について学ぶ必要がある．多くは数学通論 I で学んだことと思うが，数学通論 I では学ばなかった知識（数学通論 II で学ぶであろう知識）も必要となる．詳しくは補足プリント No.2 に記載しているので各自学習に励んでいただくことにして，ここでは定義・性質の一部を述べるにとどめる．

\underline{Def./Prop.} x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} に対して |x| = \sqrt{∑_{j=1}^{n} x_{j}^{2}} = \sqrt{x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}} と定

め， x| を x の長さまたはユークリッドノルムと呼ぶ．また， 2 点 x, y ∈ ℝ^{n} に対して d(x, y) = |x − y| と定めると，写像 d : ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ は距離の公理を満たす．距離 d(·, ·) をユークリッド距離と呼ぶ．

以下， ℝ^{n} の距離はユークリッド距離のみを考える．

\underline{Def.} ℝ^{n} の点列 \{x^{(k)}\}_{k=1}^{∞} が a ∈ ℝ^{n} に収束する

⟺^{def} lim_{k→∞} d(x^{(k)}, a) = 0 (i.e. ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ s.t. k ≥ N ⟹ d(x^{(k)}, a) < ε)

これを lim_{k→∞} x^{(k)} = a や x^{(k)} → a (k → ∞) などと書き， a を点列 {x^{(k)}} の極限（点）と呼ぶ．

点列 {x^{(k)}} がコーシー列であることも，数列のときと同様に定義される．

\underline{Prop.} \{x^{(k)} = (x_{1}^{(k)}, …, x_{n}^{(k)})\}_{k=1}^{∞} ⊂ ℝ^{n} と a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n} に対して， lim_{k→∞} x^{(k)} = a

と lim_{k→∞} x_{j}^{(k)} = a_{j} (∀j ∈ {1, …, n}) は同値である．

\underline{Th. （定理 5.1.1，定理 5.1.2）}

1 ◯ （ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理） ℝ^{n} 内の有界な点列 {x^{(k)}} は必ず収束する部分列 {x^{(k_{i})}}_{i=1}^{∞} を含む． 2 ◯ （ℝ^{n} の完備性）任意の ℝ^{n} のコーシー列は収束する． \underline{Th.} A ⊂ ℝ^{n} とするとき，次の二つは同値である． 1 ◯ A は有界閉集合である． 2 ◯ （点列コンパクト性） A の点からなる任意の点列 {x^{(k)}}_{k=1}^{∞} は， A の点に収束する部分列 {x^{(k_{i})}}_{i=1}^{∞} を必ず含む． \underline{Def.} A ⊂ ℝ^{n} とする． 1 ◯ A が連結な開集合であるとき， A は領域であると呼ぶ． 2 ◯ ある領域 B ⊂ ℝ^{n} が存在して A = \overline{B} と書けるとき， A は閉領域であると呼ぶ． \underline{Rem.} A ⊂ ℝ^{n} が開集合であるならば， A が連結であることと A が弧状連結であることは同値である．従って， A が領域であることの定義を「A が弧状連結な開集合である」としても良い．

多変数関数 f(x) の極限と連続性について，定義と基本的な性質を述べよう． \underline{Def.} A ⊂ ℝ^{n}, f : A → ℝ, x_{0} ∈ \overline{A}, α ∈ ℝ とする．

lim_{x→x_{0}} f(x) = α

⟺^{def} 「∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. x ∈ A かつ 0 < d(x, x_{0}) < ε ⟹ |f(x) − α| < ε」

lim_{x→x_{0}} f(x) = ∞ などの定義も同様であるので，定義を書くことは各自に任せる．多変数関数の極限の定義において「0 <」が必要であることは 1 変数関数の極限のときと同じである．また，極限を取る点 x_{0} は f(x) の定義域 A に属する必要はないことにも注意する．なお， 2 変数関数の場合，極限の定義は

lim_{(x,y)→(a,b)} f(x, y) = α

⟺^{def} 「∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. (x, y) ∈ A かつ 0 < d((x, y), (a, b)) < ε ⟹ |f(x, y)−α| < ε」

となる．

\underline{Ex.} f : ℝ^{2} \ \{(0, 0)\} を f(x, y) = \frac{x^{4} + y^{4}}{x^{2} + y^{2}} と定めると， lim_{(x,y)→(0,0)} f(x, y) = 0 である．

\underline{Prop.} A ⊂ ℝ^{n}, f, g : A → ℝ, x_{0} ∈ \overline{A}, α, β ∈ ℝ とする． lim_{x→x_{0}} f(x) = α, lim_{x→x_{0}} g(x) = β な

らば， lim_{x→x_{0}}(f(x) + g(x)) = α + β である．

（関数の差，スカラー倍，積，商の極限についても同様である）

\underline{Prop. （定理 5.2.1）}^{2} A ⊂ ℝ^{n}, f : A → ℝ, x_{0} ∈ \overline{A}, α ∈ ℝ とする．次の二つは同値である．

1 ◯ lim_{x→x_{0}} f(x) = α.

2 ◯ x_{0} に収束する任意の A の点からなる点列 {x^{(k)}} （ただし， x^{(k)} ≠ x_{0} (∀k ∈ ℕ)）に対して， lim_{k→∞} f(x^{(k)}) = α が成り立つ．

\underline{Rem.} 次の例で見るように，実用的には 1 ◯ ⟹ 3 ◯ を用いることも多い．

3 ◯ C : x = φ(t) (t ∈ [0, 1]) が A 内の連続曲線であり，かつ φ(1) = x_{0} （ただし， φ(t) ≠ x_{0} (∀t ∈ [0, 1))）を満たすならば， lim_{t→1−0} f(φ(t)) = α が成り立つ．

\underline{Ex.} f : ℝ^{2} \ \{(0, 0)\} を f(x, y) = \frac{xy}{x^{2} + 2y^{2}} と定めると，

y = x に沿って (x, y) を (0, 0) に近づけると lim_{x→0} f(x, x) = lim_{x→0} \frac{x · x}{x^{2} + 2x^{2}} = \frac{1}{3},

y = −x に沿って (x, y) を (0, 0) に近づけると lim_{x→0} f(x, −x) = lim_{x→0} \frac{x · (−x)}{x^{2} + 2(−x)^{2}} = −\frac{1}{3}

であるから， lim_{(x,y)→(0,0)} f(x, y) は存在しない．

\underline{Rem.} 多変数関数に対するはさみうちの原理やコーシーの判定法も， 1 変数関数のときと同様である．しかし， 1 変数関数のときと違って「 lim_{x→∞} f(x)」は考えられない．ただし， lim_{|x|→∞} f(x) = α であれば，「∀ε > 0, ∃R > 0 s.t. |x| > R ⟹ |f(x) − α| < ε」として定義

される．

\underline{Prop.} 1 ◯ lim_{(x,y)→(a,b)} f(x, y) = α かつ y = b の近傍で lim_{x→a} f(x, y) が存在するならば，

lim_{y→b} (lim_{x→a} f(x, y)) が存在してその値は α に等しい．

2 ◯ lim_{(x,y)→(a,b)} f(x, y) = α かつ x = a の近傍で lim_{y→b} f(x, y) が存在するならば， lim_{x→a} (lim_{y→b} f(x, y))

が存在してその値は α に等しい．

\underline{Def.} A ⊂ ℝ^{n}, f : A → ℝ, x_{0} ∈ A とする．

1 ◯ f(x) が x = x_{0} で連続

⟺^{def} 「∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. x ∈ A かつ d(x, x_{0}) < ε ⟹ |f(x) − f(x_{0})| < ε」

（⟺ lim_{x→x_{0}} f(x) = f(x_{0})）

2 ◯ f(x) が A 上で連続（f ∈ C(A) と書く） ⟺^{def} 任意の x_{0} ∈ A に対して， f(x) は x = x_{0} で連続である ⟺ 「∀x_{0} ∈ A, ∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. x ∈ A かつ d(x, x_{0}) < ε ⟹ |f(x) − f(x_{0})| < ε」

3 ◯ f(x) が A 上で一様連続

⟺^{def} 「∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. x, y ∈ A かつ d(x, y) < ε ⟹ |f(x) − f(y)| < ε」

多変数関数の連続性の定義において「0 <」が不要であることや， x ∈ A が要求されていることは 1 変数関数の連続性のときと同じである． \underline{Ex.} f(x, y) = x, g(x, y) = y, h(x, y) ≡ 1 とおくと， f ∈ C(ℝ^{2}) である．従って， 2 変数多項式関数は ℝ^{2} 上で連続である（n 変数にしても同様である）．

2教科書の記述には誤りがあるので注意してください．

\underline{Prop.} 1 ◯ V ⊂ ℝ^{2} を (a, b) の近傍とし， f : V → ℝ が (a, b) で連続であると仮定する．このとき， g(x) = f(x, b) で定義される関数 g(x) は x = a で連続であり，かつ h(y) = f(a, y) で定義される関数 h(y) は y = b で連続である．

2 ◯ x = φ(t), y = φ(t) はともに t = t_{0} で連続であり， f(x, y) は (x, y) = (φ(t_{0}), ψ(t_{0})) で連続であると仮定する．このとき， g(t) = f(φ(t), ψ(t)) で定義される関数 g(t) は t = t_{0} で連続である．

3 ◯ u = φ(x, y), v = φ(x, y) はともに (x, y) = (a, b) で連続であり， f(u, v) は (u, v) = (φ(a, b), ψ(a, b)) で連続であると仮定する．このとき， g(x, y) = f(φ(x, y), ψ(x, y)) で定義される関数 g(x, y) は (x, y) = (a, b) で連続である．

上の命題は 2 変数関数の場合について述べられているが，一般に n 変数関数似た敷いても同様の主張が成立する．

\underline{Th. （定理 5.2.2）}K ⊂ ℝ^{n} を有界閉集合， f ∈ C(K) とする．このとき， f(x) は K 上で最大値・最小値をもつ．

\underline{Th. （定理 5.2.3）}K ⊂ ℝ^{n} を有界閉集合， f ∈ C(K) とする．このとき， f(x) は K 上で一様連続である．

\underline{Th. （中間値の定理）（定理 5.2.4）} A ⊂ ℝ^{n} を弧状連結な集合， f ∈ C(K)， a, b ∈ A とする．このとき，もし f(a) ≠ f(b) ならば， f(a) と f(b) の間にある任意の μ ∈ ℝ に対して，ある c ∈ A が存在して μ = f(c) となる．

\underline{４．偏微分と全微分}

この節では Ω ⊂ ℝ^{2} を空でない開集合とし， 2 変数関数 f = f(x, y) : Ω → ℝ の微分について考えるが，空でない開集合 Ω ⊂ ℝ^{n} と n 変数関数 f = f(x_{1}, …, x_{n}) : Ω → ℝ に対しても同様である．また， (x_{0}, y_{0}) ∈ Ω とする（このとき， (x_{0}, y_{0}) は Ω の内点である）．

\underline{Def.} 1 ◯ lim_{h→0} \frac{f(x_{0} + h, y_{0}) − f(x_{0}, y_{0})}{h} が存在するとき， f(x, y) は点 (x_{0}, y_{0}) で x に関し

て偏微分可能であるといい，この極限値（偏微（分）係数）を\frac{∂f}{∂x}(x_{0}, y_{0}) や f_{x}(x_{0}, y_{0}) などと書く．

\underline{Rem.} f(x, y) の点 (x_{0}, y_{0}) での x に関する偏微分係数を， f′(x_{0}, y_{0}), \frac{df}{dx}(x_{0}, y_{0}), \frac{∂}{∂x}f(x_{0}, y_{0})

と書いてはいけない．

2 ◯ lim_{k→0} \frac{f(x_{0}, y_{0} + k) − f(x_{0}, y_{0})}{k} が存在するとき， f(x, y) は点 (x_{0}, y_{0}) で y に関して偏微

分可能であるといい，この極限値（偏微分係数）を\frac{∂f}{∂y} (x_{0}, y_{0}) や f_{y}(x_{0}, y_{0}) などと書く． 3 ◯ f(x, y) が Ω 上で x (y) に関して偏微分可能である

⟺^{def} 任意の (x_{0}, y_{0}) ∈ Ω に対して， f(x, y) は点 (x_{0}, y_{0}) で x (y) に関して偏微分可能である．

\underline{Rem.} 上の 3 ◯ において，関数 (x, y) ↦ \frac{∂f}{∂x}(x, y) (\frac{∂f}{∂x}(x, y)) を， f(x, y) の x (y) に関

する偏導関数と呼ぶ． \underline{Rem.} 単に「f(x, y) が (x_{0}, y_{0}) で（Ω 上で）偏微分可能である」というのは， f(x, y) が (x_{0}, y_{0}) で（Ω 上で） x に関しても y に関しても偏微分可能であることをいう．

\underline{Ex.} ℝ^{2} 上の関数 f(x, y) = \begin{cases}\frac{xy}{x^{2} + 2y^{2}} & ((x, y) ≠ (0, 0)) \\ 0 & ((x, y) = (0, 0)) \end{cases} は (0, 0) で偏微分可能である．

\underline{Rem.} 1 変数関数では「微分可能 ⟹ 連続」であった．しかし，直上の例と p.13 の例で述べた事実をあわせると，多変数関数では「偏微分可能 ⟹ 連続」は一般には成り立たないことが分かる． \underline{Def.} 関数 f(x, y) に対して，

\frac{∂}{∂x} (\frac{∂f}{∂x}(x, y)) = \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} (x, y) = f_{xx}(x, y), \frac{∂}{∂y} (\frac{∂f}{∂x}(x, y)) = \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}(x, y) = f_{xy}(x, y),

\frac{∂}{∂x} (\frac{∂f}{∂y} (x, y)) = \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (x, y) = f_{yx}(x, y), \frac{∂}{∂y} (\frac{∂f}{∂y} (x, y)) = \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} (x, y) = f_{yy}(x, y)

を 2 階（2 次）偏導関数と呼ぶ． k 階偏導関数も同様に定義される． \underline{Def.} 1 ◯ m ∈ ℕ に対して， f(x, y) が Ω 上で C^{m} 級

⟺^{def} f(x, y) の m 階までの偏導関数が全て存在し，それらが Ω 上で連続である 2 ◯ f(x, y) が Ω 上で C^{∞} 級 ⟺^{def} 任意の m ∈ ℕ に対して， f(x, y) は C^{m} 級である 3 ◯ C^{m}(Ω) = {f : Ω → ℝ | f(x, y) は Ω 上で C^{m} 級である} （C^{∞}(Ω) も同様に定義） \underline{Rem.} 一般には f_{xy}(x, y) と f_{yx}(x, y) は等しいとは限らない．

\underline{Ex. （例 5.3.4）}f(x, y) = \begin{cases}xy \frac{x^{2} − y^{2}}{x^{2} + y^{2}} & ((x, y) ≠ (0, 0)) \\ 0 & ((x, y) = (0, 0)) \end{cases} とおくと， f_{xy}(0, 0) = −1, f_{yx}(0, 0) =

1 である．

しかしながら， f(x, y) が Ω 上で C^{2} 級であれば_{^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿}}， Ω 上で f_{xy}(x, y) = f_{yx}(x, y) が成立

する．

\underline{Th. （定理 5.3.2）}f ∈ C^{2}(Ω) ならば， f_{xy}(x, y) = f_{yx}(x, y) (∀(x, y) ∈ Ω) である．

\underline{Def.} f(x, y) が (x_{0}, y_{0}) で全微分可能である ⟺^{def} ∃A, B ∈ ℝ, ∃g(h, k) ： (0, 0) の近傍で定義された関数^{3}

s.t. f(x_{0}+h, y_{0}+k) = f(x_{0}, y_{0})+Ah+Bk+g(h, k)\sqrt{h^{2} + k^{2}} かつ lim_{(h,k)→(0,0)} g(h, k) = 0

(⟺ ∃A, B ∈ ℝ s.t. f(x_{0} +h, y_{0} +k) = f(x_{0}, y_{0})+Ah+Bk +o (\sqrt{h^{2} + k^{2}}) ((h, k) → (0, 0)))

解析学 I で学んだように， 1 変数関数では「f(x) が x = x_{0} で微分可能であること（即ち， lim_{h→0} \frac{f(x_{0} + h) − f(x_{0})}{h} が存在すること」と「f(x) が x = x_{0} の近くで 1 次関数で近似できること（y = f(x) の点 (x_{0}, f(x_{0})) における接線が存在すること）」が同値であった．上で定義した f(x, y) が (x_{0}, y_{0}) で全微分可能であることは， f(x, y) が (x_{0}, y_{0}) の近くで 1 次関数で近似できることを表している．即ち，多変数関数における全微分可能という概念は， 1 変数関数における微分可能という概念に相当する． f(x, y) が (x_{0}, y_{0}) において全微分可能であるとき， z = f(x_{0}, y_{0}) + A(x − x_{0}) + B(y − y_{0}) のこと（ただし， A, B は全微分可能であることの定義に現れる実数）を， z = f(x, y) の点 (x_{0}, y_{0}, f(x_{0}, y_{0})) における接平面と呼ぶ．

\underline{Prop.} f(x, y) が (x_{0}, y_{0}) で全微分可能であるならば，次が成立する．

1 ◯ f(x, y) は (x_{0}, y_{0}) で偏微分可能である．

2 ◯ 全微分可能であることの定義に現れる A, B は A = f_{x}(x_{0}, y_{0}), B = f_{y}(x_{0}, y_{0}) を満たす．

\underline{Rem.} f(x, y) が (x_{0}, y_{0}) で偏微分可能であっても， f(x, y) は (x_{0}, y_{0}) で全微分可能であるとは限らない．

\underline{Prop.} f(x, y) が (x_{0}, y_{0}) で全微分可能であるならば， f(x, y) は (x_{0}, y_{0}) で連続である．

\underline{Th. （定理 5.4.1）}f(x, y) が Ω 上で C^{1} 級であるならば， f(x, y) は Ω 上で全微分可能である．

多変数関数における連続性，偏微分可能性，全微分可能性および C^{1} 級であることの相互関係について，しっかりと理解を深めておいていただきたい．

3実際には， g(h, k) は (0, 0) 自身では定義されていなくても構いません．

次に述べる二つの定理は， 1 変数関数における合成関数の微分に相当する多変数関数の連鎖律 (chain rule) である．講義における例やレポート問題おようび演習問題を通じて，正しい記法で正確に運用できるように練習を積んでいただきたい．

\underline{Th. （連鎖律，その 1）（定理 5.5.1）} x = φ(t), y = ψ(t) が t = t_{0} で微分可能， z = f(x, y) が (x, y) = (φ(t_{0}), ψ(t_{0})) で_{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} 全微分可能であると仮定する．このとき， g(t) = f(φ(t), ψ(t)) とおくと， g(t) は t = t_{0} で微分可能であり，

\frac{dg}{dt} (t_{0}) = \frac{∂f}{∂x}(φ(t_{0}), ψ(t_{0}))\frac{dφ}{dt}(t_{0}) + \frac{∂f}{∂y} (φ(t_{0}), ψ(t_{0}))\frac{dψ}{dt} (t_{0})

を満たす．

\underline{Rem.} 教科書の定理 5.5.1 の結論の式の左辺は誤りである．記法にはくれぐれも注意していただきたい．ただし，次に記述する命題であれば正しい記法になっている．

x = φ(t), y = ψ(t) が区間 I で微分可能， z = f(x, y) が開集合 Ω 上で_{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} 全微分可能 ; であり，かつ t ∈ I ならば (φ(t), ψ(t)) ∈ Ω であると仮定する．このとき， g(t) = ; f(φ(t), ψ(t)) とおくと， g(t) は I 上で微分可能であり， ; \frac{d}{dt}f(φ(t), ψ(t)) = \frac{∂f}{∂x}(φ(t), ψ(t))\frac{dφ}{dt}(t) + \frac{∂f}{∂y} (φ(t), ψ(t))\frac{dψ}{dt} (t) (t ∈ I) ; を満たす．

\underline{Th. （連鎖律，その 2）（定理 5.5.3）} x = φ(u, v), y = ψ(u, v) が (u, v) = (u_{0}, v_{0}) で偏微分可能， z = f(x, y) が (x, y) = (φ(u_{0}, v_{0}), ψ(u_{0}, v_{0})) で_{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} 全微分可能であると仮定する．このとき， g(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)) とおくと， g(u, v) は (u, v) = (u_{0}, v_{0}) で偏微分可能であり，

\frac{∂g}{∂u}(u_{0}, v_{0}) = \frac{∂f}{∂x}(φ(u_{0}, v_{0}), ψ(u_{0}, v_{0}))\frac{∂φ}{∂u}(u_{0}, v_{0}) + \frac{∂f}{∂y} (φ(u_{0}, v_{0}), ψ(u_{0}, v_{0}))\frac{∂ψ}{∂u} (u_{0}, v_{0}),

\frac{∂g}{∂v} (u_{0}, v_{0}) = \frac{∂f}{∂x}(φ(u_{0}, v_{0}), ψ(u_{0}, v_{0}))\frac{∂φ}{∂v}(u_{0}, v_{0}) + \frac{∂f}{∂y} (φ(u_{0}, v_{0}), ψ(u_{0}, v_{0}))\frac{∂ψ}{∂v} (u_{0}, v_{0})

を満たす．

今節の最後に多変数関数のテイラーの定理について述べる． 1 変数関数のときと同様に，テイラーの定理は（ある点の近傍で）関数を多項式で近似できることを表している．

\underline{Th. （定理 5.5.8）}n ∈ ℕ とする． f ∈ C^{n}(Ω) であり， (x_{0}, y_{0}) と (x_{0} + h, y_{0} + k) を結ぶ_{^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿}}

∿ _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} 線分が_{∿} _{∿}Ω_{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} に含まれていると仮定する．このとき，

f(x_{0} + h, y_{0} + k) = f(x_{0}, y_{0}) + ∑_{j=1}^{n−1} \frac{1}{j!} (∑_{r=0}^{j}_{j}C_{r} \frac{∂^{j}f}{∂x^{j−r}∂y^{r}} (x_{0}, y_{0})h^{j−r}k^{r}) + R_{n}(h, k),

R_{n}(h, k) = \frac{1}{n!} ∑_{r=0}^{n}_{n}C_{r} \frac{∂^{n}f}{∂x^{n−r}∂y^{r}} (x_{0} + θh, y_{0} + θk)h^{n−r}k^{r} (∃θ ∈ (0, 1))

が成り立つ． \underline{Rem.} 上の定理において， f(x_{0} + h, y_{0} + k) の展開式の最初の数項を書くと次のようになる：

f(x_{0} + h, y_{0} + k)

= f(x_{0}, y_{0}) + (f_{x}(x_{0}, y_{0})h + f_{y}(x_{0}, y_{0})k)

+ \frac{1}{2!}(f_{xx}(x_{0}, y_{0})h^{2} + 2f_{xy}(x_{0}, y_{0})hk + f_{yy}(x_{0}, y_{0})k^{2})

+ \frac{1}{3!}(f_{xxx}(x_{0}, y_{0})h^{3} + 3f_{xxy}(x_{0}, y_{0})h^{2}k + 3f_{xyy}(x_{0}, y_{0})hk^{2} + f_{yyy}(x_{0}, y_{0})k^{3})

+ · · · · · ·

\underline{Def.} Ω ⊂ ℝ^{n} が凸集合

⟺^{def} ∀u, v ∈ Ω, ∀t ∈ [0, 1], (1 − t)u + tv ∈ Ω

\underline{Rem.} 多変数関数のテイラーの定理における波線部の仮定は，例えば Ω が凸集合であれば満たされる．

多変数関数のテイラーの定理は，次に述べる補題と 1 変数関数のテイラーの定理を組み合わせることで証明される．

\underline{Lem.} 多変数関数のテイラーの定理の仮定が満たされていると仮定する．このとき， g(t) = f(x_{0} + th, y_{0} + tk) (t ∈ [0, 1]) とおくと， g ∈ C^{n}([0, 1]) であり，

g^{(n)}(t) = ∑_{r=0}^{n}_{n}C_{r} \frac{∂^{n}f}{∂x^{n−r}∂y^{r}} (x_{0} + th, y_{0} + tk)h^{n−r}k^{r} (t ∈ [0, 1])

が成り立つ．

\underline{Rem.} 多変数関数のテイラーの定理の結論の式を次のように書くこともある：

f(x_{0} + h, y_{0} + k) = ∑_{j=0}^{n−1} \frac{1}{j!} [(h\frac{∂}{∂x} + k \frac{∂}{∂y} )^{j} f] (x_{0}, y_{0})

+ \frac{1}{n!} [(h\frac{∂}{∂x} + k \frac{∂}{∂y} )^{j} f] (x_{0} + θh, y_{0} + θk) (∃θ ∈ (0, 1))

\underline{Rem.} 多変数関数のテイラーの定理において， n = 1 のときは

f(x_{0} +h, y_{0} +k) = f(x_{0}, y_{0})+h\frac{∂f}{∂x}(x_{0} +θh, y_{0} +θk)+k \frac{∂f}{∂y} (x_{0} +θh, y_{0} +θk) (∃θ ∈ (0, 1))

となり，これは平均値の定理の多変数関数版である．

\underline{Rem.} もし f ∈ C^{∞}(Ω) で，多変数関数のテイラーの定理における R_{n}(h, k) が lim_{n→∞} R_{n}(h, k) = 0 を満たすならば，

f(x_{0} + h, y_{0} + k) = f(x_{0}, y_{0}) + ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n!} (∑_{r=0}^{n}_{n}C_{r} \frac{∂^{n}f}{∂x^{n−r}∂y^{r}} (x_{0}, y_{0})h^{n−r}k^{r})

を得る．これを f(x, y) の (x_{0}, y_{0}) におけるテイラー級数展開と呼ぶ．

\underline{５．陰関数定理と逆写像定理}

二つの変数 x と y の関係が， y = φ(x) の形で表されるものを関数と呼んだ．一方，高校では x^{2} + y^{2} − 1 = 0 のように x と y の関係式で表されるものも学んだ（x^{2} + y^{2} = 1 は座標平面における原点を中心とする半径 1 の円を表すのであった）．一般に， 2 変数関数 f(x, y) を用いて f(x, y) = 0 で表されるものを陰関数と呼ぶ．

それでは， f(x, y) = 0 を y = φ(x) と表すことはいつでもできるであろうか？上に挙げた f(x, y) = x^{2} + y^{2} − 1 = 0 は実際に y について解くことができ， y = \sqrt{1 − x^{2}} または y = −\sqrt{1 − x^{2}} (−1 ≤ x ≤ 1) と表せる．つまり， x ∈ (−1, 1) ならば y は二つ存在してしまい，「関数」にはならない．しかし， f(x, y) = x^{2} + y^{2} − 1 = 0 上の点の_{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} 十分に小さい近傍を考えれば， 2 点 (±1, 0) を除いて f(x, y) = 0 は y = φ(x) の形に表すことができる^{4}．

今節で学ぶ内容を平たく言えば，陰関数 f(x, y) = 0 を_{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} 局所的にy = φ(x) の形に表せることを保証する定理である陰関数定理と， y = φ(x) を_{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} _{∿} 局所的にx = ψ(y) の形に表せることを保証する定理（の多変数関数版）である逆写像定理である．まずは，陰関数定理（の最も単純な場合）を述べよう．

\underline{Th. （陰関数定理）（定理 9.1.3）} Ω ⊂ ℝ^{2} を空でない開集合， f = f(x, y) ∈ C^{1}(Ω) とし， (x_{0}, y_{0}) ∈ Ω が f(x_{0}, y_{0}) = 0, f_{y}(x_{0}, y_{0}) ≠ 0 を満たすと仮定する．このとき，ある δ, ρ > 0 が存在して次を満たす．

1 ◯ [x_{0} − δ, x_{0} + δ] × [y_{0} − ρ, y_{0} + ρ] ⊂ Ω が成り立つ．

2 ◯ 任意の x ∈ (x_{0} − δ, x_{0} + δ) に対して，ある y ∈ (y_{0} − ρ, y_{0} + ρ) がただ一つ存在して f(x, y) = 0 を満たす．以下，この y を φ(x) と書く．

（即ち， (x, y) ∈ (x_{0} − δ, x_{0} + δ) × (y_{0} − ρ, y_{0} + ρ）のとき， f(x, y) = 0 ⟺ y = φ(x) である）

3 ◯ y_{0} = φ(x_{0}) が成り立つ．

4 ◯ φ(x) は (x_{0} − δ, x_{0} + δ) 上で C^{1} 級であり， φ′(x) = −\frac{f_{x}(x, φ(x))}{f_{y}(x, φ(x))} が成り立つ．

5 ◯ さらに， ℓ ∈ ℕ に対して，もし f ∈ C^{ℓ}(Ω) ならば， φ ∈ C^{ℓ}((x_{0} − δ, x_{0} + δ)) である．

\underline{Ex.} f(x, y) = x^{3} + y^{3} − 3xy − 3 = 0 上の点 (2, 1) の十分小さい近傍上で， f(x, y) = 0 は（x = 2 の近傍上で） C^{1} 級関数 φ(x) を用いて y = φ(x) と表せる．

\underline{Rem.} 上の定理のステートメントの 4 ◯ にある式は， f(x, φ(x)) = 0 を x について微分した式 f_{x}(x, φ(x)) + f_{y}(x, φ(x))φ′(x) = 0 から得られる（従って，式を忘れたとしても自分で導くことができる）．

\underline{Rem.} 同様にして， (x_{0}, y_{0}) ∈ Ω, f = f(x, y) ∈ C^{1}(Ω), f(x_{0}, y_{0}) = 0, f_{x}(x_{0}, y_{0}) ≠ 0 ならば， f(x, y) = 0 は (x_{0}, y_{0}) の近傍で x = ψ(y) と表せることができ， ψ(y_{0}) = x_{0} かつ ψ(y) は y = y_{0} の近傍で C^{1} 級関数であることも成り立つ． \underline{Rem.} 変数が増えた場合の陰関数定理も同様に証明できる．例えば，

4点 (1, 0) や (−1, 0) の十分小さい近傍では， y = φ(x) の形に表すことはできませんが， x = ψ(y) の形に表すことはできます．

(i) (x_{0}, y_{0}, z_{0}) ∈ Ω, f = f(x, y, z) ∈ C^{1}(Ω), f(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = 0, f_{z}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) ≠ 0 ならば， f(x, y, z) = 0 は (x_{0}, y_{0}, z_{0}) の近傍で z = φ(x, y) と表せることができ， φ(x_{0}, y_{0}) = z_{0} かつ φ(x, y) は (x_{0}, y_{0}) の近傍で C^{1} 級関数である． (ii) (x_{0}, y_{0}, z_{0}) ∈ Ω, f = f(x, y, z), g = g(x, y, z) ∈ C^{1}(Ω), f(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = g(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = 0,

det (\begin{matrix}f_{y}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) & f_{z}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \\ g_{y}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) & g_{z}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \end{matrix}) ≠ 0 ならば， \begin{cases}f(x, y, z) = 0 \\ g(x, y, z) = 0 \end{cases} は (x_{0}, y_{0}, z_{0}) の近傍で

\begin{cases}y = φ(x) \\ z = ψ(x) \end{cases} と表すことができ， (φ(x_{0}), ψ(x_{0})) = (y_{0}, z_{0}) かつ φ(x), ψ(x) は x = x_{0} の

近傍で C^{1} 級である．

問上の (i) で， φ_{x}(x_{0}, y_{0}) と φ_{y}(x_{0}, y_{0}) を， f(x, y, z) の偏微分係数を用いて表せ．

陰関数定理の応用を一つ述べよう．

\underline{Def.} Ω ⊂ ℝ^{2} を開集合， (x_{0}, y_{0}) ∈ Ω, f = f(x, y) ∈ C^{1}(Ω) とする． 1 ◯ ベクトル (f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)) を f(x, y) の勾配ベクトルと呼び， grad f(x, y), ∇f(x, y), Df(x, y) などと書く．

2 ◯ (x_{0}, y_{0}) が f(x, y) = 0 の正則点 ⟺^{def} f(x_{0}, y_{0}) = 0 かつ grad f(x_{0}, y_{0}) ≠ (0, 0)

3 ◯ (x_{0}, y_{0}) が f(x, y) = 0 の特異点 ⟺^{def} f(x_{0}, y_{0}) = 0 かつ grad f(x_{0}, y_{0}) = (0, 0)

上記の状況で，もし (x_{0}, y_{0}) が f(x, y) = 0 の正則点であれば， f_{x}(x_{0}, y_{0}) と f_{y}(x_{0}, y_{0}) の少なくとも一方は 0 ではない． f_{x}(x_{0}, y_{0}) ≠ 0 ならば陰関数定理により f(x, y) = 0 は (x_{0}, y_{0}) の近傍で y = φ(x) の形に表すことができ， f_{y}(x_{0}, y_{0}) ≠ 0 ならば再び陰関数定理により f(x, y) = 0 は (x_{0}, y_{0}) の近傍で x = ψ(x) の形に表すことができる．即ち， f(x, y) = 0

は (x_{0}, y_{0}) の近傍で C^{1} 級曲線である_{^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿}}ことが分かる．

問 f(x, y) = 0 の正則点 (x_{0}, y_{0}) における接線の方程式を求めよ．

一方， (x_{0}, y_{0}) が f(x, y) = 0 の特異点である場合は， f(x, y) = 0 が (x_{0}, y_{0}) の近傍でどのようであるかは分からない^{5}．最後に，逆写像定理（の最も単純な場合）を述べよう．

\underline{Th. （定理 9.1.11, n = 2）}Ω ⊂ ℝ^{2} が空でない開集合， a = (a_{1}, a_{2}) ∈ Ω， f(x, y) =

(f_{1}(x, y), f_{2}(x, y)) が Ω 上で C^{1} 級であるとする．もし， det (\begin{matrix}\frac{∂f_{1}}{∂x} (a_{1}, a_{2}) & \frac{∂f_{1}}{∂y} (a_{1}, a_{2}) \\ \frac{∂f_{2}}{∂x} (a_{1}, a_{2}) & \frac{∂f_{2}}{∂y} (a_{1}, a_{2}) \end{matrix}) ≠ 0

ならば， b = f(a) = (f_{1}(a_{1}, a_{2}), f_{2}(a_{1}, a_{2})) の近傍で f の逆写像 φ = f^{−1} が存在する．

上の定理は「2 変数版」であるが，「n 変数版」も同様である．

\underline{Ex.} f(x, y, z) = (x+y +z, xy +yz +zx, xyz) とおくと， f(1, 2, 3) = (6, 11, 6) である．点 (6, 11, 6) の近傍で定義された f の逆写像 φ で， φ(6, 11, 6) = (1, 2, 3) を満たすものは存在するか？

陰関数定理・逆写像定理の一般形に関しては補足プリント No.3 をご参照いただき，学生の皆さんにはレポート問題・演習問題を解くことにより練習を積むことを望む．

5何も言えないと困るのですが，逆にそれだからこそ（数学的には）面白いとも言えます．