解析学 III 補足プリント No.2 （2025.6.25 配布）

プリントは https://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R7Kai3.html にも置いてあります。

\underline{● ℝ^{n} の距離と位相的性質}

以下， n ∈ ℕ とし， n 個の実数の組 (x_{1}, …, x_{n}) 全体からなる集合を ℝ^{n} と定めます． x = (x_{1}, …, x_{n}), y = (y_{1}, …, y_{n}) と α ∈ ℝ に対して，和とスカラー倍を

x + y = (x_{1} + y_{1}, …, x_{n} + y_{n}), αx = (αx_{1}, …, αx_{n})

と定義すると， ℝ^{n} は実線形空間をなします．以下， 0 = (0, …, 0) と表すことにします^{1}．

\underline{Def. 1 （ℝ^{n} のノルム）}x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} に対して

|x| = \sqrt{∑_{j=1}^{n} x_{j}^{2}} = \sqrt{x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}}

と定め， |x| を x の\underline{長さ}または\underline{ノルム}と呼ぶ^{2}．

\underline{Lem. 1} ℝ^{n} の元に対しそのノルムを取る写像 | · | : ℝ^{n} → ℝ は次の性質を満たす^{3}．

(i) 任意の x ∈ ℝ^{n} に対して |x| ≥ 0 であり，かつ |x| = 0 ⟺ x = 0 が成り立つ． (ii) 任意の α ∈ ℝ と x ∈ ℝ^{n} に対して |αx| = |α| |x|． (iii) 任意の x, y ∈ ℝ^{n} に対して |x + y| ≤ |x| + |y|．（三角不等式）

問１上の Lem. 1 を示せ^{4}．

\underline{Prop. 1} 2 点 x, y ∈ ℝ^{n} に対して d(x, y) = |x − y| と定義すると，写像 d : ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ は距離の公理を満たす．即ち，

(i) （非負値性）任意の x, y ∈ ℝ^{n} に対して d(x, y) ≥ 0 であり，かつ d(x, y) = 0 ⟺ x = y が成り立つ． (ii) （対称性）任意の x, y ∈ ℝ^{n} に対して d(x, y) = d(y, x)． (iii) （三角不等式）任意の x, y, z ∈ ℝ^{n} に対して d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)．

問２ Lem. 1 を用いて Prop. 1 を示せ．（数学通論 I でも学習？）

上で定義した ℝ^{n} 上のノルム | · | をユークリッドノルム，距離 d(·, ·) をユークリッド距離と呼びます． n = 1 のときは x ∈ ℝ のユークリッドノルムは通常の絶対値 |x|， x, y ∈ ℝ のユークリッド距離は |x − y| となります． \underline{Def. 2 （点列の収束）}ℝ^{n} における点列 \{x^{(k)}\}_{k=1}^{∞} が a ∈ ℝ^{n} に\underline{収束}する

1線形代数ではベクトルを太字で書くということになっているので x や 0 と書いていますが， ℝ^{n} の元であることが明らかな場合は x や 0 と表すこともあります（その場合， 0 が実数の 0 なのか零ベクトルなのかは文脈で判断することになります）．

2実数の絶対値 | · | と， ℝ^{n} の元（ベクトル）のノルム | · | を同じ記号で書いているので，混同しないように注意しましょう．

3一般に実線形空間 X に対して， (i)〜(iii) を満たすような写像 | · | （ただし ℝ^{n} は全て X に置き換える）をノルムと呼びます．ただ， | · | と書くと実数の絶対値と混同しやすいので，ノルムは ∥ · ∥ のように二重線で表すことも多いです．（←ただし，実数の絶対値自身もノルムの一つです）

4(iii) の証明にはコーシー・シュワルツの不等式を用います．

⟺^{def} lim_{k→∞} d(x^{(k)}, a) = 0. (i.e. ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ s.t. k ≥ N ⟹ d(x^{(k)}, a) < ε.)

このとき， lim_{k→∞} x^{(k)} = a や x^{(k)} → a (k → ∞) などと書く．また， a を点列 {x^{(k)}}_{k=1}^{∞}

の極限点と呼ぶ．

\underline{Rem.} 先程注意したとおり， n = 1 のときは d(x, y) = |x − y| (x, y ∈ ℝ) ですから，点列（といっても各項は実数ですので数列） {x^{(k)}}_{k=1}^{∞} が a ∈ ℝ に収束することは

∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ s.t. k ≥ N ⟹ |x^{(k)} − a| < ε

となって， 1 年生の時に学んだ数列の収束の定義と一致します．

\underline{Prop. 2} ℝ^{n} の点列 \{x^{(k)}\} が収束するとき， \{x^{(k)}\} の極限点はただ一つである．

Prop. 2 の証明において， d(x, y) の具体的な形 d(x, y) = |x − y| = \sqrt{∑_{j=1}^{n}(x_{j} − y_{j})^{2}} は

用いていません．用いたのは前ページの\underline{距離の公理 (i)〜(iii) だけ}です．即ち， Prop. 2 は（ユークリッド距離でなくても） ℝ^{n} 上のどんな距離を考えても成立することが分かります．実際， ℝ^{n} 上の距離としては，ユークリッド距離以外にも

d_{1}(x, y) = ∑_{j=1}^{n} |x_{j} − y_{j}|, d_{∞}(x, y) = max_{j=1,...,n} |x_{j} − y_{j}|

（ただし， x = (x_{1}, …, x_{n}), y = (y_{1}, …, y_{n}) ∈ ℝ^{n}）などいろいろあります．しかし，ユー

クリッド距離 d(x, y) = \sqrt{∑_{j=1}^{n}(x_{j} − y_{j})^{2}} は ℝ^{n} の\underline{内積から決まる距離}という特別な性質を

持っており，解析を学ぶ上では使い勝手が良いこともあるので，今後は ℝ^{n} の距離といえばユークリッド距離を用いることにします．

\underline{Rem.} 上で定義された ℝ^{n} 上の距離 d_{1}, d_{∞} は，それぞれ ℝ^{n} 上のノルム

|x|_{1} = ∑_{j=1}^{n} |x_{j}|,  |x|_{∞} = max_{j=1,...,n} |x_{j}|  (x = (x_{1}, …, x_{n}))

から導かれる距離になっています．実は，「有限次元線形空間上のノルムは全て同値である」という定理があり，その帰結として d, d_{1}, d_{∞} のどれかの距離で収束すれば，他の距離でも収束していることが言えます．即ち，この三つのどの距離を用いても，収束に関する議論を行う際には違いはないことになります^{5}．

\underline{Prop. 3}

(1) 収束する点列 {x^{(k)}} は有界である．即ち， ∃M > 0 s.t. ∀k ∈ ℕ, |x^{(k)}| ≤ M が成立する．

(2) 収束する点列 {x^{(k)}}_{k=1}^{∞} の任意の部分点列 {x^{(k_{i})}}_{i=1}^{∞} は同じ極限点に収束する．問３ Prop. 3 を示せ． \underline{Prop. 4} x^{(k)} = (x_{1}^{(k)}, …, x_{n}^{(k)}), a = (a_{1}, …, a_{n}) とおくとき，

5数学通論 I で学ぶ言葉を用いれば，「どの距離から導入される位相も等しい」ということです．

lim_{k→∞} x^{(k)} = a ⟺^{同値} lim_{k→∞} x_{j}^{(k)} = a_{j} (∀j ∈ {1, …, n}).

\underline{pf.} ⟹ の証明には

|x_{j}^{(k)} − a_{j}| = \sqrt{(x_{j}^{(k)} − a_{j})^{2}} ≤ \sqrt{∑_{j=1}^{n}(x_{j}^{(k)} − a_{j})^{2}} = d(x^{(k)}, a)

を用いる．詳しくは各自に任せる． ■ 問４ Prop. 4 の証明を完成させよ． \underline{Def. 3 （コーシー列）}ℝ^{n} における点列 \{x^{(k)}\}_{k=1}^{∞} が\underline{コーシー列}である

⟺^{def} 「∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ s.t. k, ℓ ≥ N ⟹ d(x^{(k)}, x^{(ℓ)}) < ε.」

（これを lim_{k,ℓ→∞} d(x^{(k)}, x^{(ℓ)}) = 0 とも書く）

\underline{Prop. 5} \{x^{(k)}\} を ℝ^{n} の点列とする． (1) {x^{(k)}} が収束列 ⟹ {x^{(k)}} がコーシー列^{6}．

(2) x^{(k)} = (x_{1}^{(k)}, …, x_{n}^{(k)}) とおくとき， {x^{(k)}} が ℝ^{n} の距離 d に関してコーシー列 ⟺^{同値}任意の j ∈ {1, …, n} に対して数列 {x_{j}^{(k)}} が ℝ のコーシー列問５ Prop. 5 を示せ．実数 ℝ に関しては，次の 2 つの性質が成立していることを解析学 I で学びました．

(1) （ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理） ; 有界な数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ ℝ は必ず収束する部分列 {a_{n_{k}}}_{k=1}^{∞} を含む． ; (2) （実数の完備性）任意の ℝ におけるコーシー列は収束する．

これと同様の性質は ℝ^{n} に対しても成立します． \underline{Th. 1}

(1) （ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理） ℝ^{n} 内の有界な点列 {x^{(k)}}_{k=1}^{∞} は必ず収束する部分列 {x^{(k_{i})}}_{i=1}^{∞} を含む．

(2) （ℝ^{n} の完備性）任意の ℝ^{n} におけるコーシー列は収束する． \underline{pf.} (2) のみ示す．任意にコーシー列 \{x^{(k)}\} ⊂ ℝ^{n} を取る．このとき，ある a ∈ ℝ^{n} が存在して lim_{k→∞} x^{(k)} = a となることを示す．

6この性質は ℝ^{n} に限らず，あらゆる距離空間で成立します．しかし，\underline{逆は必ずしも成立するとは限りま} \underline{せん}．逆が成立するような（即ち，任意のコーシー列が収束するような）距離空間は完備であると呼びます．

Prop. 5 (2) より，任意の j ∈ {1, …, n} に対して数列 {x_{j}^{(k)}} が ℝ のコーシー列である．従って実数の完備性より，任意の j ∈ {1, …, n} に対して，ある a_{j} ∈ ℝ が存在して

lim_{k→∞} x_{j}^{(k)} = a_{j} が成立する．

ここで a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n} とおくと， Prop. 4 より lim_{k→∞} x^{(k)} = a である． ■

次に ℝ^{n} の位相的性質について述べます．しばらくは ℝ^{n} だけでなく一般の距離空間に対しても同様に定義される概念，および同様に証明できる命題を述べます．

\underline{Def. 4 （ε-近傍）}x ∈ ℝ^{n}, ε > 0 に対して，

U(x; ε) = {y ∈ ℝ^{n} | d(x, y) < ε}

を，点 x の\underline{ε-近傍}と呼ぶ^{7}．

x ε U(x; ε)

集合 A ⊂ ℝ^{n} が\underline{有界}であるとは， ∃M > 0 s.t. ∀x ∈ A, |x| ≤ M

が成り立つことを言いますが，これを Def. 4 で定義した記号を用いると

∃M > 0 s.t. ∀x ∈ A, x ∈ U(0; M),

即ち，

∃M > 0 s.t. A ⊂ U(0; M)

となります^{8}．

\underline{Def. 5 （近傍）}V ⊂ ℝ^{n}, x ∈ ℝ^{n} に対して， V が x の\underline{近傍}であるとは，

∃ε > 0 s.t. V ⊃ U(x; ε)

が成り立つことを言う^{9}．

ε x  V

以下， A ⊂ ℝ^{n} に対し A^{c} で A の補集合 (= ℝ^{n} \ A) を表します．

\underline{Def. 6 （内点，外点，境界点）} A ⊂ ℝ^{n}, x ∈ ℝ^{n} に対し，

(1) x が A の\underline{内点} ⟺^{def} ∃δ > 0 s.t. U(x; δ) ⊂ A.

(2) x が A の\underline{外点} ⟺^{def} ∃δ > 0 s.t. U(x; δ) ⊂ A^{c}.

(3) x が A の\underline{境界点} ⟺^{def} ∀ε > 0, U(x; ε) ∩ A ≠ ∅ かつ U(x; ε) ∩ A^{c} ≠ ∅.

7数学通論 I の講義，および解析学 III の教科書では x の ε-近傍を U(x; ε) と書いているのでこの補足プリントでもそれに倣っていますが，解析では B(x, ε) や B_{ε}(x) と書くことも多いです．図形的には「中心が x，半径 ε の開円板（3 次元であれば球）」になるわけで， B は Ball （球）の頭文字という気持ちです．実際，開球という言葉遣いをする場合もあります．

8集合の包含関係 A ⊂ B は「x ∈ A ⟹ x ∈ B」または「∀x ∈ A, x ∈ B」を意味していたことに注意．

9V が x の近傍ならば，必然的に x ∈ V であることに注意．

\underline{Rem.} (i) x が A の内点ならば， x ∈ A です． (ii) x が A の外点ならば， x ∈ A^{c} です． (iii) 「x は A の内点」「x は A の外点」「x は A の境界点」のいずれか一つのみが成立します．

x （内点） A  x （境界点）x （外点）

\underline{Def. 7 （触点，集積点，孤立点）}

A ⊂ ℝ^{n}, x ∈ ℝ^{n} に対し，

(4) x が A の\underline{触点} ⟺^{def} ∀ε > 0, U(x; ε) ∩ A ≠ ∅.

(5) x が A の\underline{集積点}

⟺^{def} ∀ε > 0, U(x; ε) ∩ (A \ {x}) ≠ ∅.

(6) x が A の\underline{孤立点} ⟺^{def} ∃δ > 0 s.t. U(x; δ) ∩ A = \{x\}.

\underline{Rem.} (iv) x は A の触点 ⟺^{同値} x は A の内点または A の境界点 ⟺^{同値} x は A の外点ではない

⟺^{同値} x ∈ A または x は A の集積点

(v) x が A の内点ならば， x は A の集積点です． (vi) x が A の孤立点 ⟺^{同値} x は A の境界点であり，かつ A の集積点でない． (vii) x が A の外点ならば， x は A の集積点でも孤立点でもありません． (viii) x が A の集積点 ⟺^{同値}ある A の点からなる点列 {x^{(k)}} が存在して， x^{(k)} ≠ x (∀k ∈ ℕ)

かつ lim_{k→∞} x^{(k)} = x が成立する．

\underline{Def. 8 （内部，外部，境界，閉包）} A ⊂ ℝ^{n} とする．

(1) \{x ∈ ℝ^{n} | x は A の内点\} を A の\underline{内部（開核）}と呼び， A^{∘} や int A で表す．

(2) \{x ∈ ℝ^{n} | x は A の外点\} (= (A^{c})^{∘}) を A の\underline{外部}と呼び， A^{e} で表す．

(3) \{x ∈ ℝ^{n} | x は A の境界点\} を A の\underline{境界}と呼び， ∂A で表す．

(4) \{x ∈ ℝ^{n} | x は A の触点\} = A^{∘} ∪ ∂A (= ℝ^{n} \ A^{e}) を A の\underline{閉包}と呼び，\overline{A} で表す．

\underline{Ex.} A = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 1\} とすると， • A^{∘} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 < x < 1, 0 < y < 1}.

• ∂A = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ x ≤ 1, y = 0} ∪ {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ x ≤ 1, y = 1} ∪ {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x = 0, 0 ≤ y ≤ 1} ∪ {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x = 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

• \overline{A} = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1\}.

O  1 1  x y  A  O  1 1  x y  A^{∘}  O  1 1  x y  ∂A  O  1 1  x y  \overline{A}

問６上で述べた事実を証明せよ． \underline{Def. 9 （開集合，閉集合）} A ⊂ ℝ^{n} とする．

(1) A が ℝ^{n} の\underline{開集合} ⟺^{def} ∀x ∈ A, ∃δ > 0 s.t. U(x; δ) ⊂ A.

(2) A が ℝ^{n} の\underline{閉集合} ⟺^{def} A^{c} が ℝ^{n} の開集合．

\underline{Ex.} (1) A_{1} = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 < x < 1, 0 < y < 1\} は ℝ^{2} の開集合． (2) A_{2} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} は ℝ^{2} の閉集合．

(3) x ∈ ℝ^{n}, ε > 0 に対して， U(x; ε) は ℝ^{n} の開集合．

\underline{Prop. 6} A ⊂ ℝ^{n} とする．

(1) A が ℝ^{n} の開集合 ⟺^{同値} A = A^{∘}.

(2) (A^{∘})^{∘} = A^{∘}

(3) A^{∘}, A^{e} は ℝ^{n} の開集合であり， ∂A, \overline{A} は ℝ^{n} の閉集合である．

(4) A^{∘} ⊂ A ⊂ \overline{A}.

\underline{Prop. 7} A ⊂ ℝ^{n}, a ∈ ℝ^{n} に対し，次の (a) と (b) は同値である．

(a) a ∈ \overline{A}.

(b) ある A の点からなる点列 {x^{(k)}} が存在して， lim_{k→∞} x^{(k)} = a.

\underline{Prop. 8} A ⊂ ℝ^{n} に対し，次の (a)〜(d) は同値である．

(a) A は ℝ^{n} の閉集合である． (b) \overline{A} = A.

(c) {x ∈ ℝ^{n} | x は A の集積点} ⊂ A が成立する．

(d) A の点からなる任意の収束点列 {x^{(k)}} の極限点 a は必ず A に属している．

問７ Prop. 6, Prop. 7, Prop. 8 を証明せよ．

最後に， ℝ^{n} の有界閉集合に対して成立する重要な性質を述べます．この定理はユークリッド空間 ℝ^{n} に対して成立するものであり，一般の距離空間に対しては必ずしも成立しません．

\underline{Th. 2 （コンパクト性）}A ⊂ ℝ^{n} とする．このとき， (a)〜(c) は同値である．

(a) A は有界閉集合である．

(b) （点列コンパクト性） A の点からなる任意の点列 {x^{(k)}}_{k=1}^{∞} は， A の点に収束する部分列 {x^{(k_{i})}}_{i=1}^{∞} を必ず含む．

(c) （コンパクト性） A の任意の開被覆 {U_{λ}}_{λ∈Λ} に対して，ある有限個の λ_{1}, ⋯, λ_{N} ∈ Λ

が存在して ⋃_{j=1}^{N} U_{λ_{j}} ⊃ A となる^{10}．

\underline{Rem.} Th. 2 の (a) ⟺ (c) の証明については，詳しくは数学通論 I の講義で学習したことでしょう． (a) ⟺ (b) の証明もできるようにしてください．例えば， (a) ⟹ (b) は Th. 1 (1) と Prop. 8 を用いて示すことができます．

10 「{U_{λ}}_{λ∈Λ} が A の開被覆である」とは，任意の λ ∈ Λ に対して U_{λ} は ℝ^{n} の開集合であり，かつ ⋃_{λ∈Λ} U_{λ} ⊃ A であることを言います．

\underline{Def. 10 （連結でない集合）}A ⊂ ℝ^{n} が\underline{連結でない}集合 ⟺^{def} ∃U_{1}, U_{2} : ℝ^{n} の開集合 s.t.

(i) U_{1} ∩ A ≠ ∅, U_{2} ∩ A ≠ ∅.

(ii) U_{1} ∩ U_{2} ∩ A = ∅.

(iii) (U_{1} ∩ A) ∪ (U_{2} ∩ A) = A.

\underline{Ex.} A = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | (x + 2)^{2} + y^{2} ≤ 1\} ∪ \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | (x − 2)^{2} + y^{2} ≤ 1\} は連結でない．なぜならば， U_{1} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x < 0}, U_{2} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x > 0} とおけばよいか

らである． O  x y  2 −2

\underline{Def. 11 （連結集合）}A ⊂ ℝ^{n} が「連結でない」集合ではないとき， A は\underline{連結}な集合であるという．

\underline{Def. 12 （弧状連結集合）}A ⊂ ℝ^{n} が\underline{弧状連結}な集合 ⟺^{def} 任意の 2 点 x, y ∈ A に対して，ある連続曲線

C : x_{1} = φ_{1}(t), …, x_{n} = φ_{n}(t) (t ∈ [0, 1])

が存在して {(φ_{1}(t), …, φ_{n}(t)) ∈ ℝ^{n} | t ∈ [0, 1]} ⊂ A かつ x = (φ_{1}(0), …, φ_{n}(0)), y = (φ_{1}(1), …, φ_{n}(1)) が成立する．

x  y C  A

\underline{Th. 3} A ⊂ ℝ^{n} が\underline{開集合}ならば，

A が連結 ⟺^{同値} A が弧状連結．

\underline{Rem.} Th.3 の証明は数学通論 II で行うと思いますので，解析学 III では証明せずにこの性質を用いることとします．

\underline{Def. 13 （領域，閉領域）} (1) （弧状）連結な開集合のことを\underline{領域}と呼ぶ．

(2) A ⊂ ℝ^{n} が\underline{閉領域} ⟺^{def} ∃B ⊂ ℝ^{n} ：領域 s.t. A = \overline{B}.

\underline{Rem.} A が領域ならば，その閉包\overline{A} は閉領域となります．