数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 補足プリント No.4 （2025.5.29 配布）

 プリントは http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R7SuurikaisekiA.html にも置いてあります。

\underline{定義．} m ∈ ℕ ∪ \{0\}, 1 ≤ p < ∞ に対し， ; W^{m,p}(ℝ^{N}) = \{f ∈ L^{p}(ℝ^{N}) | |α| ≤ m ⟹ D^{α}f ∈ L^{p}(ℝ^{N})\}. ; ただし D^{α}f は f の α 階超関数微分を表す． ; また， f ∈ W^{m,p}(ℝ^{N}) に対し， ; ∥f∥_{W^{m,p}} = ( ∑_{|α|≤m} ∥D^{α}f∥_{p}^{p})^{\frac{1}{p}} ; と定義する（すると ∥ · ∥_{W^{m,p}} は W^{m,p}(ℝ^{N}) 上のノルムである．）．

\underline{注意．}本当は p = ∞ のときも Sobolev 空間 W^{m,∞}(ℝ^{N}) が考えられます． \underline{注意．} m は微分の階数， p は Lebesgue 指数を表しています． W^{0,p}(ℝ^{N}) = L^{p}(ℝ^{N}) です．

\underline{定理．} W^{m,p}(ℝ^{N}) は Banach 空間である．

［証明］完備性のみを示す． (f_{k})_{k=1}^{∞} ⊂ W^{m,p}(ℝ^{N}) を任意の Cauchy 列とする．

{目標 f_{k} → f in W^{m,p}(ℝ^{N}) となる f ∈ W^{m,p}(ℝ^{N}) が存在することを示す． \atop まずは f を決めねば！}

|α| ≤ m となる各 α に対し，

∥D^{α}f_{k} − D^{α}f_{l}∥_{p} ≤ ( ∑_{|α|≤m} ∥D^{α}(f_{k} − f_{l})∥_{p}^{p})^{\frac{1}{p}} = ∥f_{k} − f_{l}∥_{W^{m,p}} → 0 (k, l → ∞)

であるから， (D^{α}f_{k})_{k=1}^{∞} は L^{p}(ℝ^{N}) の Cauchy 列である．従って， L^{p}(ℝ^{N}) の完備性から

∃f^{α} ∈ L^{p}(ℝ^{N}) s.t. D^{α}f_{k} → f^{α} in L^{p}(ℝ^{N})

が成立する．（\underline{各 α ごとに}f^{α} が定まることに注意）

α = (0, …, 0) のときの f^{α} を f と書く．（← f が決まった！）

\underline{Claim.} |α| ≤ m を満たす任意の α に対して， f の α 階超関数微分は f^{α} で ; ある．即ち， ; D^{α}f = f^{α} in D′(ℝ^{N}) ; が成立する．

この Claim. が証明できれば，任意の |α| ≤ m に対して D^{α}f = f^{α} ∈ L^{p}(ℝ^{N}) より f ∈ W^{m,p}(ℝ^{N}) であり，また D^{α}f_{k} → D^{α}f in L^{p}(ℝ^{N}) より

∥f_{k} − f∥_{W^{m,p}} = ( ∑_{|α|≤m} ∥D^{α}f_{k} − D^{α}f∥_{p}^{p})^{\frac{1}{p}} → 0 (k → ∞)

が言える．

Claim. の証明

任意の φ ∈ D(ℝ^{N}) をとると，

∫_{ℝ^{N}} (D^{α}f_{k})(x)φ(x) dx = ⟨D^{α}f_{k}, φ⟩
= (−1)^{|α|}⟨f_{k}, D^{α}φ⟩ （超関数微分の定義）
= (−1)^{|α|} ∫_{ℝ^{N}} f_{k}(x)(D^{α}φ)(x) dx. (∗)

左辺の k → ∞ の極限は ∫_{ℝ^{N}} f^{α}(x)φ(x) dx である．実際，

|∫_{ℝ^{N}} (D^{α}f_{k})(x)φ(x) dx − ∫_{ℝ^{N}} f^{α}(x)φ(x) dx| ≤ ∫_{ℝ^{N}} |(D^{α}f_{k})(x) − f^{α}(x)| |φ(x)| dx

= ∫_{supp φ} |(D^{α}f_{k})(x) − f^{α}(x)| |φ(x)| dx

≤ sup_{x∈supp φ} |φ(x)| ∫_{supp φ} |(D^{α}f_{k})(x) − f^{α}(x)| dx.

p = 1 のときは， D^{α}f_{k} は f^{α} に L^{1} 収束しているので，最右辺→ 0 (k → ∞) である． p > 1 のときは Hölder の不等式より

（最右辺） ≤ C∥D^{α}f_{k} − f^{α}∥_{p} · |supp φ|^{\frac{1}{q}} → 0 (k → ∞)

が成立する．ここで C はある正定数，\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1， |supp φ| は supp φ の N 次元測度であ

る．従って (∗) の左辺は k → ∞ のとき ∫_{ℝ^{N}} f^{α}(x)φ(x) dx に収束する．

同様にして， (∗) の右辺は k → ∞ のとき (−1)^{|α|} ∫_{ℝ^{N}} f(x)D^{α}φ(x) dx に収束する．故に

∫_{ℝ^{N}} f^{α}(x)φ(x) dx = (−1)^{|α|} ∫_{ℝ^{N}} f(x)D^{α}φ(x) dx

を得る．この等式は任意の φ ∈ D(ℝ^{N}) に対して成立するので，

D^{α}f = f^{α} in D′(ℝ^{N})

が成立する． ■