数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.9 （2025.5.15 出題）

 演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R7SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを期末試験で出題するかもしれません．

[62] T, S ∈ D′(ℝ^{N}), α, β ∈ ℂ とする．いま， U : D(ℝ^{N}) → ℂ を ⟨U, φ⟩ := α⟨T, φ⟩ + β⟨S, φ⟩ (φ ∈ D(ℝ^{N}))

と定めると， U ∈ D′(ℝ^{N}) であることを示せ．（この U を αT + βS と書く）

[63] a ∈ ℝ に対し， ⟨δ_{a}, φ⟩ = φ(a) (φ ∈ D(ℝ)) で与えられる δ_{a} は超関数となることは前回の講義と同様に証明される． δ_{a} ∈ D′(ℝ) を a を台にもつ Dirac の δ 関数と呼ぶ．

さて，次で定義される T : D(ℝ) → ℂ を考える．

T (φ) = ∑_{n∈ℤ} φ(n) (φ ∈ D(ℝ)).

(1) φ ∈ D(ℝ) に対して，級数 ∑_{n∈ℤ} φ(n) は収束することを示せ．

（従って T : D(ℝ) → ℂ は well-defined です）

(2) T ∈ D′(ℝ) であることを示せ．（この T を ∑_{n∈ℤ} δ_{n} と書く）

[64] この問題では ℝ 上の関数，超関数を考える． (1) xδ′ = −δ を示せ．

(2) m, n ∈ ℕ に対して， x^{m}δ^{(n)} を求めよ．

[65] f ∈ C^{∞}(ℝ^{N}), T ∈ D′(ℝ^{N}), j ∈ {1, …, N} のとき，次を示せ．

\frac{∂}{∂x_{j}} (fT ) = \frac{∂f}{∂x_{j}} T + f \frac{∂T}{∂x_{j}} .

（ヒント：任意の φ ∈ D(ℝ^{N}) に対して ⟨\frac{∂}{∂x_{j}} (fT ), φ⟩ = ⟨\frac{∂f}{∂x_{j}} T + f \frac{∂T}{∂x_{j}} , φ⟩ であることを示せ

ば O.K.）

[66] （超関数に関する微分の順序交換） T ∈ D′(ℝ^{N})， j, k ∈ {1, …, N} とする．このとき，

\frac{∂}{∂x_{k}} (\frac{∂T}{∂x_{j}} ) = \frac{∂}{∂x_{j}} (\frac{∂T}{∂x_{k}} )

を示せ．（裏に続く） [67] ℝ 上の関数 f(x) = |x| を考える．

(1) f を超関数とみなしたものを T_{f} と書く． T_{f} の超関数としての微分 T′_{f} を求めよ． (2) T′′_{f} を求めよ．

[68] ℝ 上の関数 f(x) = log |x| を考える． (1) f ∈ L_{loc}^{1}(ℝ) であることを示せ．

(2) (1) より f を超関数とみなすことができる．これを T_{f} と書く． T_{f} の超関数としての微分 T′_{f} が p.v. \frac{1}{x} であることを示せ．

（ヒント：

⟨T′_{f}, φ⟩ = − ∫_{−∞}^{∞} log |x| φ′(x) dx = − lim_{ε→+0} (∫_{−∞}^{−ε} log |x| φ′(x) dx + ∫_{ε}^{∞} log |x| φ′(x) dx)

と変形して部分積分）

[69] この問題では ℝ 上の関数，超関数を考える． (1) T′′ = 0 を満たす超関数 T ∈ D′(ℝ) をすべて求めよ．

(2) Y を Heaviside 関数とするとき， T′ = Y を満たす T ∈ D′(ℝ) を全て求めよ．

(3) T′ = ∑_{n∈ℤ} δ_{n} を満たす T ∈ D′(ℝ) を一つ求めよ．（表面にある [63] を参照）

（2 枚目に続く） [70] Ω ⊂ ℝ^{N} を領域とする．このとき，

• C^{1} 級関数 u : Ω → ℝ に対して， grad u := (\frac{∂u}{∂x_{1}} , …, \frac{∂u}{∂x_{N}} ). （u の勾配と呼ぶ）

• C^{1} 級写像（ベクトル場） w = (w_{1}, …, w_{N}) : Ω → ℝ^{N} に対して，

div w := \frac{∂w_{1}}{∂x_{1}} + ⋯ + \frac{∂w_{N}}{∂x_{N}} . （w の発散と呼ぶ）

と定義する．このとき，次が成立する^{1}．

\underline{定理（Gauss の発散定理）}

Ω ⊂ ℝ^{N} を C^{1} 級の境界 ∂Ω をもつ有界領域， w を C^{1} 級のベクトル場とする．このとき，

∫_{Ω} div w(x) dx = ∫_{∂Ω} w(x) · ν(x) ds

が成立する．ただし， ν(x) は x ∈ ∂Ω における ∂Ω の外向き単位法線ベクトル， ds は ∂Ω における N − 1 次元面積要素， · は ℝ^{N} における通常の内積を表す．

以下， Ω ⊂ ℝ^{N} を C^{1} 級の境界 ∂Ω をもつ有界領域， u, v ∈ C^{2}(Ω) とする．

(1) Gauss の発散定理において w = grad u を代入することにより，

∫_{Ω} Δu(x) dx = ∫_{∂Ω} \frac{∂u}{∂ν} (x) ds

が成立することを示せ．ただし，

Δu(x) := ∑_{k=1}^{N} \frac{∂^{2}u}{∂x_{k}^{2}}(x) = \frac{∂^{2}u}{∂x_{1}^{2}}(x) + ⋯ + \frac{∂^{2}u}{∂x_{N}^{2}} (x),
\frac{∂u}{∂ν} (x) := grad u(x) · ν(x) （即ち， x における u の外向き単位法線方向微分）

である．

(2) （Green の公式） Gauss の発散定理において w = v grad u と w = u grad v を代入した式を辺々引くことにより，

∫_{Ω} (v(x)Δu(x) − u(x)Δv(x)) dx = ∫_{∂Ω} (v(x)\frac{∂u}{∂ν} (x) − u(x)\frac{∂v}{∂ν} (x)) ds

が成立することを示せ．

（裏に続く）

1詳しくは適当な微分積分に関するテキストを参照して下さい．昨年度と今年度，滝本は 1,2 年生の解析学の講義で「理工系のための微分積分 I,II」（鈴木・山田・柴田・田中著）を教科書として用いていますが，この本の第 8 章に載っています．

[71] ℝ^{2} \ \{(0, 0)\} 上の関数 u(x) = log \frac{1}{|x|} （即ち， u(x_{1}, x_{2}) = − log \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}）を考える．

(1) 任意の x ∈ ℝ^{2} \ {(0, 0)} に対して Δu(x) = 0 が成り立つことを確かめよ．

(2) u を ℝ^{2} 上の可測関数とみたとき， u ∈ L_{loc}^{1}(ℝ^{2}) であることを示せ．

(3) (2) の結果から， u は D′(ℝ^{2}) の元とみなすことができる．このとき，超関数微分の意味で

Δu = −2πδ in D′(ℝ^{2})

が成立することを証明しよう． (i) 任意に φ ∈ D(ℝ^{2}) を取る．このとき， supp φ ⊂ {|x| < R} となる R > 0 を選べば，

⟨Δu, φ⟩ = ⟨u, Δφ⟩ = ∫_{ℝ^{2}} (log \frac{1}{|x|}) Δφ(x) dx = lim_{ε→+0} ∫_{\{ε<|x|<R\}} (log \frac{1}{|x|}) Δφ(x) dx

と書ける．最右辺に [70](2) （Green の公式）を適用することにより，次の等式を示せ．ただし B_{ε,R} := {x ∈ ℝ^{2} | ε < |x| < R} とする．

⟨Δu, φ⟩ = lim_{ε→+0}(∫_{B_{ε,R}} Δ (log \frac{1}{|x|}) φ(x) dx + ∫_{∂B_{ε,R}} (log \frac{1}{|x|}) \frac{∂φ}{∂ν}(x) ds

− ∫_{∂B_{ε,R}} φ(x) \frac{∂}{∂ν} (log \frac{1}{|x|}) ds).

(ii) さらに， (1) の結果，および |x| = R 上では φ(x) = 0, \frac{∂φ}{∂ν}(x) = 0 であることを用いて，次を示せ．ただし， ν は ∂B_{ε,R} の外向き単位法線ベクトルである．

⟨Δu, φ⟩ = lim_{ε→+0} (∫_{|x|=ε} (log \frac{1}{|x|}) \frac{∂φ}{∂ν}(x) ds − ∫_{|x|=ε} φ(x)\frac{∂}{∂ν} (log \frac{1}{|x|}) ds) .

(iii) (ii) の結論にある式の右辺のカッコの中の，第 1 項の積分を I_{ε}，第 2 項の積分を J_{ε} とおく． I_{ε} → 0 (ε → +0) を示せ．

(iv) \frac{∂}{∂ν} (log \frac{1}{|x|}) = \frac{1}{|x|} を示し，それを用いて J_{ε} → 2πφ(0) (ε → +0) を導け．

(v) 以上の結果より， Δu = −2πδ in D′(ℝ^{2}) が成り立つことを示せ．

[72] ℝ^{3} 上の関数 u(x) = \frac{1}{|x|} （即ち， u(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = \frac{1}{\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}}} ）は L_{loc}^{1}(ℝ^{3}) の元であること

を示し，超関数微分の意味で

Δu = −4πδ in D′(ℝ^{3})

が成立することを，前問と同様の方法により証明せよ．