数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.8 （2025.5.13 出題）

演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R7SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを期末試験で出題するかもしれません．

[57] ψ : ℝ → ℂ を ψ(x) = \begin{cases}e^{\frac{1}{x^{2}−1}} & (−1 < x < 1) \\ 0 & (x ≤ −1, x ≥ 1) \end{cases} で定めると， ψ ∈ D(ℝ) であること

は既に講義で述べた．次の (1)〜(4) の命題の真偽を判定せよ．

(1) n ∈ ℕ に対して φ_{n}(x) := \frac{1}{n}ψ(x) とおくと， φ_{n} → 0 in D(ℝ) (n → ∞)．

(2) n ∈ ℕ に対して φ_{n}(x) := \frac{1}{n}ψ(x − n) とおくと， φ_{n} → 0 in D(ℝ) (n → ∞)．

(3) n ∈ ℕ に対して φ_{n}(x) := \frac{1}{n}ψ(nx) とおくと， φ_{n} → 0 in D(ℝ) (n → ∞)．

(4) n ∈ ℕ に対して φ_{n}(x) := e^{−n}ψ(nx) とおくと， φ_{n} → 0 in D(ℝ) (n → ∞)．

[58] {φ_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ D(ℝ^{N}), ψ ∈ D(ℝ^{N}) に対し，

φ_{n} → ψ in D(ℝ^{N}) (n → ∞) ⟺^{def} φ_{n} − ψ → 0 in D(ℝ^{N}) (n → ∞)

と定義する．

T ∈ D′(ℝ^{N}) である（即ち， T : D(ℝ^{N}) → ℂ が超関数である）ならば，次が成立することを示せ^{1}．

φ_{n} → ψ in D(ℝ^{N}) (n → ∞) ⟹ T (φ_{n}) → T (ψ) (n → ∞).

[59] 1 ≤ p ≤ ∞ とする． ℝ^{N} 上の可測関数 u で， ℝ^{N} の任意のコンパクト集合 K に対して， u|_{K}∈ L^{p}(K)

を満たすもの全体の集合を L_{loc}^{p}(ℝ^{N}) と書く．このとき，次を示せ．

(1) L^{p}(ℝ^{N}) ⊂ L_{loc}^{p}(ℝ^{N})．（←さすがに，ほぼ自明ではありますが……）

(2) C(ℝ^{N}) ⊂ L_{loc}^{p}(ℝ^{N})．

(3) 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ ならば L_{loc}^{p}(ℝ^{N}) ⊂ L_{loc}^{q}(ℝ^{N})．

（(1),(3) を併せると L^{p}(ℝ^{N}) ⊂ L_{loc}^{1}(ℝ^{N}) が分かる）

（裏に続く） [60] 講義では証明を省略した次の命題の証明を与えよ．

1これは T が D(ℝ^{N}) 上で連続であることを示しています．つまり，「T : D(ℝ^{N}) → ℂ が線形であるとき，『φ_{n} → 0 in D(ℝ^{N}) (n → ∞) ⟹ T (φ_{n}) → 0 (n → ∞)』を示せば T の連続性が言える」ことを示せ，という問題です．

f ∈ L_{loc}^{1}(ℝ^{N}) とする．もし「任意の φ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{N}) に対して ∫_{ℝ^{N}} f(x)φ(x) dx = 0」が成立するならば， f(x) = 0 a.e. x ∈ ℝ^{N} である．

[61] 次で定義される T : D(ℝ) → ℂ は超関数であるか否かを判定せよ． (1) φ ∈ D(ℝ) に対して， T (φ) = ∫_{−∞}^{∞} x^{2}φ(x) dx で定義される T ．

(2) φ ∈ D(ℝ) に対して， T (φ) = ∫_{0}^{∞} \frac{φ(x)}{x^{\frac{1}{2}}} dx で定義される T ．

(3) φ ∈ D(ℝ) に対して， T (φ) = ∫_{0}^{∞} e^{\frac{1}{x}} φ(x) dx で定義される T ．