数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.7 （2025.5.8 出題）

 演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R7SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを期末試験で出題するかもしれません．

[48] f, g ∈ L^{2}(ℝ^{N}) とするとき，次が成り立つことを示せ．

∫_{ℝ^{N}} f(x)g(x) dx = \frac{1}{(2π)^{N}} ∫_{ℝ^{N}} f̂(ξ)ĝ(−ξ) dξ.

（注意： [18] がヒントではありますが， [18] は f ∈ L^{1}(ℝ^{N}) が仮定であることに注意．証明には講義で扱ったような極限操作が必要です．）

[49] f ∈ L^{1}(ℝ^{N}), g ∈ L^{2}(ℝ^{N}) とする．このとき， f ∗ g の（L^{2}(ℝ^{N}) の意味での） Fourier 変換 F(f ∗ g)(ξ) は f̂(ξ)ĝ(ξ) にほとんどいたるところ等しいことを示せ．

[50] f ∈ L^{2}(ℝ^{N}) とする． R > 0 に対して

f_{R}(x) = \begin{cases}f(x) & (|x| ≤ R) \\ 0 & (|x| > R) \end{cases}

と定める．このとき，次を示せ． (1) f_{R} ∈ L^{1}(ℝ^{N}) ∩ L^{2}(ℝ^{N}).

(2) ∥f_{R} − f∥_{2} → 0 (R → ∞).

[51] t < 0 のとき，

lim_{\begin{matrix}ε→+0 \\ R→∞ \end{matrix}} (∫_{−R}^{−ε} + ∫_{ε}^{R}) \frac{e^{ixt}}{x} dx

の値が −πi であることを確かめよ．（注意：積分路をどう取るかを考えよ）

[52] ℝ 上の関数 f(x) = \frac{1}{x + i} を考える． (1) f ∉ L^{1}(ℝ) だが f ∈ L^{2}(ℝ) であることを確かめよ．（注意： |f(x)| = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}）

(2) f の（L^{2}(ℝ) の意味での） Fourier 変換を求めよ．

[53] ℝ 上の関数 f(x) = \frac{x}{x^{2} + 1} の Fourier 変換を求めよ．

（これも f ∉ L^{1}(ℝ) だが f ∈ L^{2}(ℝ) である）

（ヒント： f(x) = \frac{a}{x + i} + \frac{b}{x − i} と変形して [52] の結果を用いる）

（裏に続く） [54] 次の積分の値を求めよ．（ヒント： Plancherel の定理）

(1) ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{−|x|} sin x}{x} dx. (2) ∫_{−∞}^{∞} \frac{sin x}{x (e^{x} + e^{−x})} dx.

[55] n ∈ ℕ に対し， L^{2}(ℝ) の部分集合 X_{n}, Y_{n} を次のように定める．

X_{n} = {f ∈ L^{2}(ℝ) | f は区間 [−n, n] の外ではほとんどいたるところ 0 に等しい },
Y_{n} = {f ∈ L^{2}(ℝ) | f̂ ∈ X_{n}}.

さらに， X = ⋃_{n=1}^{∞} X_{n}, Y = ⋃_{n=1}^{∞} Y_{n} とおく．

(1) X, Y はともに L^{2}(ℝ) の稠密な部分空間であることを示せ．

(2) X ∩ Y = {0} であることを示せ．

（ヒント： f ∈ X_{j} ∩ Y_{k} とおく．すると f̂(ξ) = ∫_{−j}^{j} f(x)e^{−iξx} dx となる．このとき f̂(ξ) の定義域を ℝ から ℂ に拡張できて，しかも f̂ が ℂ 上の正則関数となることを示す．）

[56] t > 0 に対して， G_{t} : ℝ^{N} → ℂ を

G_{t}(x) = \frac{1}{(4πt)^{\frac{N}{2}}} e^{− \frac{|x|^{2}}{4t}}

と定義する．いま， f ∈ L^{1}(ℝ^{N}) に対して u(x, t) = (G_{t}∗f)(x) = \frac{1}{(4πt)^{\frac{N}{2}}} ∫_{ℝ^{N}} e^{− \frac{|x−y|^{2}}{4t}} f(y) dy

とおく．このとき，次を示せ． (1) u(x, t) は ℝ^{N} × (0, ∞) 上で C^{∞} 級であり，かつ熱方程式

\frac{∂u}{∂t}(x, t) = Δu(x, t) (x ∈ ℝ^{N}, t > 0)

を満たす． (2) 任意の t > 0 に対して， u(·, t) ∈ L^{1}(ℝ^{N}) であり ∥u(·, t)∥_{1} ≤ ∥f∥_{1}.

（ヒント： ∥G_{t}∥_{1} = 1 である）

(3) lim_{t→+0} ∥u(·, t) − f∥_{1} = 0.

(4) さらに f が ℝ^{N} 上で有界かつ一様連続な関数であれば， lim_{t→+0} ∥u(·, t) − f∥_{∞} = 0.