数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.6 （2025.5.1 出題）

 演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R7SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを期末試験で出題するかもしれません．

[44] ℝ 上の関数 f(x) = x^{2}e^{−x^{2}} の Fourier 変換を求めよ．

（ヒント： g(x) = e^{−x^{2}} の Fourier 変換は計算しましたね．では f̂(ξ) と ĝ(ξ) の関係は？）

[45] (1) α ∈ ℤ_{+}^{N} を任意の多重指数とする．このとき， ∂^{α} (\frac{1}{1 + |x|^{2}} ) は ℝ^{N} 上で有界であることを示せ^{1}．

(2) g ∈ S(ℝ^{N}) とし， f(x) = \frac{g(x)}{1 + |x|^{2}} と定める．このとき， f ∈ S(ℝ^{N}) を示せ．

[46] (1) f, g ∈ L^{2}(ℝ^{N}) に対して，

|∫_{ℝ^{N}} f(x)\overline{g(x)} dx| ≤ ∥f∥_{2}∥g∥_{2} ⋯ (∗)

が成立することは既に講義で証明した（Cauchy-Schwarz の不等式）．

(∗) の式の等号が成立するのは， f, g の少なくとも一方が 0 であるか，ある c ∈ ℂ が存在して f = cg であるときであり，かつそのときに限ることを示せ^{2}．

(2) f ∈ L^{1}(ℝ^{N}) を常に f(x) > 0 である関数とする．このとき，任意の ξ ≠ 0 に対して |f̂(ξ)| < f̂(0) を満たすことを示せ．

（ヒント： f(x)e^{−ixξ} = (\sqrt{f(x)}) (\sqrt{f(x)}e^{−ixξ}) と分ける）

[47] (1) 次の命題を証明せよ．ある正定数 C > 0 が存在し，「任意の f ∈ S(ℝ) に対して ∥f∥_{2}^{2} ≤ C∥xf∥_{2}∥ξf̂∥_{2}」が成立する．

(2) (1) の「……」を満たす正定数 C の最小値を求めよ．

1帰納法で ∂^{α} (\frac{1}{1 + |x|^{2}} ) = \frac{p_{α}(x)}{(1 + |x|^{2})^{|α|}} （ただし p_{α}(x) は高々 |α| 次の多項式）であることを示します．

2一般に，実内積空間または複素内積空間 H において， Schwarz の不等式：

「任意の u, v ∈ H に対して |(u, v)| ≤ \sqrt{(u, u)}\sqrt{(v, v)} が成立する．等号成立条件は u, v の少なくとも一方が 0 であるか，ある c ∈ ℝ or ℂ が存在して u = cv であるときであり，かつそのときに限る」が成立します．この一般的な命題を証明していただいても構いませんし， L^{2}(ℝ^{N}) の場合に対して証明していただいても構いません．