数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.14 （2025.6.3 出題）

演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R7SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを期末試験で出題するかもしれません．

[98] ℝ 上の関数 f(x) = χ_{[−1,1]}(x) = \begin{cases}1 & (x ∈ [−1, 1]) \\ 0 & (x ∉ [−1, 1]) \end{cases} を考える．

(1) f の Fourier 変換 f̂ を求めよ．（演習問題 [16](1), [40](1) で計算済み）

(2) f ∈ H^{s}(ℝ) となる実数 s ≥ 0 の範囲を求めよ．

[99] ℝ 上の関数 f(x) = e^{−|x|} を考える． (1) f の Fourier 変換 f̂ を求めよ．

(2) f ∈ H^{s}(ℝ) となる実数 s ≥ 0 の範囲を求めよ．

(3) f ∗ f ∈ H^{s}(ℝ) となる実数 s ≥ 0 の範囲を求めよ．

[100] ℝ 上の関数 f(x) = e^{−|x|}, g(x) = \frac{sin x}{x} を考える． (1) g ∈ H^{s}(ℝ) となる実数 s ≥ 0 の範囲を求めよ．

(2) f ∗ g ∈ H^{s}(ℝ) となる実数 s ≥ 0 の範囲を求めよ．

（注意：演習問題 No.7 [49] の結果を用いよ）

[101] ℝ 上の関数 f(x) = \begin{cases}0 & (x < −1) \\ x + 1 & (−1 ≤ x < 0) \\ −x + 1 & (0 ≤ x < 1) \\ 0 & (x ≥ 1) \end{cases} を考える．

(1) f の超関数としての微分 f′, f′′ を求めよ．

(2) f の Fourier 変換 f̂ を求めよ．

(3) f ∈ H^{s}(ℝ) となる実数 s ≥ 0 の範囲を求めよ．

[102] (1) f ∈ L^{2}(ℝ) かつ f ∉ H^{1}(ℝ) となる f の例を挙げよ． (2) 0 ≤ s′ < s のとき， H^{s}(ℝ^{N}) は H^{s′}(ℝ^{N}) の真部分集合であること（即ち， H^{s}(ℝ^{N}) ⊂

H^{s′}(ℝ^{N}) かつ H^{s}(ℝ^{n}) ≠ H^{s′}(ℝ^{N}) であること）を示せ．

[103] 任意の g ∈ L^{2}(ℝ^{N}) に対し， −Δf + f = g in ℝ^{N}

を満たす f ∈ H^{2}(ℝ^{N}) がただ一つ存在することを示せ．ただし， Δf = \frac{∂^{2}f}{∂x_{1}^{2}} + ⋯ + \frac{∂^{2}f}{∂x_{N}^{2}} である．

（ヒント： 5/1 の授業でやった例と同じように考えてみよう）