数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.13 （2025.5.29 出題）

 演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R3SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを期末試験で出題するかもしれません．

[89] Fourier 変換をとるという写像 F : S′(ℝ^{N}) → S′(ℝ^{N}) は全単射であることを授業で述べた^{1}．

さて， S′(ℝ^{N}) 内の超関数列 {T_{m}}_{m=1}^{∞} が T ∈ S′(ℝ^{N}) に収束することを以下で定義する：

T_{m} → T in S′(ℝ^{N}) ⟺^{def} 任意の φ ∈ S(ℝ^{N}) に対して ⟨T_{m}, φ⟩ → ⟨T, φ⟩.

Fourier 変換をとるという写像 F : S′(ℝ^{N}) → S′(ℝ^{N}) は連続であること，即ち T_{m} → T in S′(ℝ^{N}) ならば T̂_{m} → T̂ in S′(ℝ^{N}) であることを示せ．

[90] 1 ≤ p ≤ ∞ とする． f ∈ L^{p}(ℝ^{N}) ならば， f を超関数とみなしたものは緩増加超関数であることを示せ．

（講義では p = 1, p = 2 の場合を示した．その他の場合は p = 2 の場合とほぼ同様である．）

[91] f ∈ L^{2}(ℝ^{N}) ならば f̂ ∈ L^{2}(ℝ^{N}) であった．では， f ∈ L^{2}(ℝ^{N}) であるとき， f を超関数としてみたもの T_{f} の（超関数としての）

Fourier 変換は Tf̂ に等しいことを示せ．

[92] (1) e^{x} cos x を ℝ 上の超関数とみなしたものは，緩増加超関数ではないことを示せ．

(2) sin e^{x} を ℝ 上の超関数とみなしたものは，緩増加超関数であることを示せ．

(3) e^{x} cos e^{x} を ℝ 上の超関数とみなしたものは，緩増加超関数であるか？

（ヒント： (sin e^{x})′ = ⋯ ）

[93] 今日の講義で ℝ 上の超関数の Fourier 変換の例として

ˆ1 = 2πδ, δ̂ = 1, x̂^{n} = 2πi^{n}δ^{(n)} (n ∈ ℕ)

を挙げた．

(1) a ∈ ℝ とする． δ̂_{a} を求めよ．

(2) δ̂′ を求めよ．また， n ∈ ℕ に対して δ̂^{(n)} を求めよ．

（裏に続く） [94] ℝ 上の超関数 T = p.v. \frac{1}{x} の Fourier 変換を求めよう．

1正確には「言及した」だけですので，皆さんはきちんとした証明を付けてみましょう．

(1) xT = 1 であることを 5/15 の講義で証明した．これを用いて\binom{}{T}′ を求めよ．

(2) (1) の結果より， T̂ が積分定数を除いて決定される．積分定数を決めよう．まず，試験関数 φ(ξ) = e^{−ξ^{2}} ∈ S(ℝ) を T̂ に施すと

⟨T̂, φ⟩ = ⟨T, φ̂⟩ = 0

であることを示せ．これを用いて積分定数を決定し， T̂ を求めよ^{2}．

[95] 任意の η > 0 に対し， ℝ 上の関数\frac{1}{x + iη} は L^{2}(ℝ) に属するので，今日の講義で学んだ結果から S′(ℝ) の元とみなすことができる．

このとき， S′(ℝ) において\frac{1}{x + iη} を η → +0 としたときの極限は −πiδ + p.v. \frac{1}{x} であることを示せ^{3}．

[96] Heaviside 関数 Y = Y (x) = \begin{cases}1 & (x ≥ 0) \\ 0 & (x < 0) \end{cases} の Fourier 変換を次の方法で求めてみよう．

(1) η > 0 に対して Y_{η}(x) := Y (x)e^{−ηx} とおく．このとき， Y_{η} → Y in S′(ℝ) (η → +0)

を示せ．（S′ における収束の定義は [89] を参照）

(2) [89] の結果より， Ŷ_{η} → Ŷ in S′(ℝ) が成立する．これと [95] の結果とをあわせて， Ŷ を求めよ．

[97] f(x) = |x| を ℝ 上の超関数とみなしたものを T_{f} とする．

(1) T_{f} ∈ S′(ℝ) を示せ．

(2) T̂_{f} を求めよ．

（ヒント：まず f(x) = 2xY (x) − x を示そう．すると

T̂_{f} = 2 x̂Y − x̂ = \frac{2}{−i} \frac{∂}{∂ξ} Ŷ − 2πiδ′ = ⋯ ）

2答は T̂ = −2πiY + πi （ただし Y は Heaviside 関数）となります．

3即ち，任意の φ ∈ S(ℝ) に対して， ⟨\frac{1}{x + iη} , φ⟩ → ⟨−πiδ + p.v. \frac{1}{x}, φ⟩ (η → +0) であることを示せ，ということです．