数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.12 （2025.5.27 出題）

 演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R7SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを期末試験で出題するかもしれません．

[85] T ∈ S′(ℝ^{N}) （即ち， T は S(ℝ^{N}) 上の連続な線形汎関数）とする．今日の講義の中で次のように説明した．

D(ℝ^{N}) ⊂ S(ℝ^{N}) であるから，定義域をせばめて T を D(ℝ^{N}) 上の線形汎関数と ; みなすことができる． ; このとき， T は D(ℝ^{N}) 上で連続となる．故に T ∈ D′(ℝ^{N})．

上の 内の太字の部分を証明せよ．

[86] p.v. \frac{1}{x} が ℝ 上の緩増加超関数であることを示せ．

（ヒント： ⟨p.v. \frac{1}{x}, φ⟩ = lim_{ε→+0} (∫_{−∞}^{−ε} \frac{φ(x)}{x} dx + ∫_{ε}^{∞} \frac{φ(x)}{x} dx) の積分区間を |x| ≥ 1 と |x| ≤ 1 に

分け， |x| ≥ 1 内では\frac{φ(x)}{x} = xφ(x) · \frac{1}{x^{2}} と変形して積分の絶対値を sup_{x∈ℝ} |x||φ(x)| の定数倍で押さえ， |x| ≤ 1 内では積分の絶対値を sup_{x∈ℝ} |φ′(x)| の定数倍で押さえる．）

[87] 演習問題 No.9 [63] で考えた超関数 T = ∑_{n∈ℤ} δ_{n} を考える．（T ∈ D′(ℝ) であった）

(1) 任意の φ ∈ D(ℝ) と任意の n ∈ ℤ \ \{0\} に対して， |φ(n)| ≤ \frac{P_{2}(φ)}{n^{2}} が成り立つことを示せ．

（ヒント（と言えるほどでもないけど）： P_{2}(φ) の定義を思い出そう）

(2) T ∈ S′(ℝ) を示せ．

（裏に続く） [88] （合成積） S ∈ E′(ℝ^{N}), T ∈ D′(ℝ^{N}) に対し， D(ℝ^{N}) 上の汎関数 S ∗ T を次のように定める．

{φ ∈ D(ℝ^{N}) に対して，\overline{φ}_{x}(y) := φ(x + y) と定める．このとき， \atop ⟨S ∗ T, φ⟩ := ⟨S, ψ⟩, ただし， ψ(x) := ⟨T, \overline{φ}_{x}⟩ (x ∈ ℝ^{N}).}

(1) 任意の φ ∈ D(ℝ^{N}) に対して， ⟨S ∗ T, φ⟩ は well-defined であることを示せ．また， S ∗ T ∈ D′(ℝ^{N}) であることを示せ^{1}．（ヒント： [73] も参照）

(2) f ∈ C_{0}(ℝ^{N}), g ∈ C(ℝ^{N}) とする． f を超関数とみなしたものを T_{f}， g を超関数とみなしたものを T_{g}，通常の合成積 f ∗ g を超関数とみなしたものを T_{f∗g} と書くとき，次を示せ．

T_{f} ∗ T_{g} = T_{f∗g}.

(3) 任意の T ∈ D′(ℝ^{N}) に対して δ ∗ T = T が成り立つことを示せ．

(4) ℝ 上の超関数の合成積 δ_{1} ∗ δ_{1} を計算せよ．

(5) ℝ 上の超関数の合成積 δ_{1} ∗ ∑_{n∈ℤ} δ_{n} を計算せよ．

(6) 任意の S ∈ E′(ℝ^{N}), T ∈ D′(ℝ^{N}) および任意の i = 1, …, N に対して

\frac{∂}{∂x_{i}} (S ∗ T) = \frac{∂S}{∂x_{i}} ∗ T = S ∗ \frac{∂T}{∂x_{i}}

が成り立つことを示せ．

(7) f(x) = χ_{[0,1]}(x) = \begin{cases}1 & (x ∈ [0, 1]) \\ 0 & (x ∉ [0, 1]) \end{cases} を ℝ 上の超関数とみなしたものを T_{f} と書くこ

とにする．合成積 T_{f} ∗ p.v. \frac{1}{x} を求めよ．

1S ∈ D′(ℝ^{N}), T ∈ E′(ℝ^{N}) のときも，同じ定義式で S ∗ T ∈ D′(ℝ^{N}) を定めることができます．このことも示してみましょう．