数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.11 （2025.5.22 出題）

 演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R7SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを期末試験で出題するかもしれません．

[79] h : ℝ → ℂ を h(x) := \begin{cases}Ce^{\frac{1}{x^{2}−1}} & (−1 < x < 1) \\ 0 & (x ≤ −1, x ≥ 1) \end{cases} で定める．ただし C > 0 は

∫_{ℝ} h(x) dx = 1 となるようにとる．

このとき， ε > 0 に対して h_{ε}(x) := \frac{1}{ε}h (\frac{x}{ε}) と定めると， h_{ε} → δ in D′(ℝ) (ε → +0) であることを示せ^{1}．

[80] f_{n}(x) := \frac{1}{π} \frac{n}{1 + n^{2}x^{2}} と定めると， f_{n} → δ in D′(ℝ) (n → ∞) であることを示せ．

[81] f ∈ C(ℝ^{N}) とする． f を超関数と思ったものを T_{f} と書くことにすると， supp T_{f} = supp f

が成り立つことを示せ．

[82] (1) x^{2}T = 0 を満たす T ∈ D′(ℝ) を全て求めよ．（ヒント： supp T ⊂ {0} を示す） (2) (1 − x^{2})T = 0 を満たす T ∈ D′(ℝ) を全て求めよ．（ヒント： supp T ⊂ {−1, 1}）

[83] (1) ψ : ℝ → ℂ を ψ(x) := \begin{cases}e^{\frac{1}{x^{2}−1}} & (−1 < x < 1) \\ 0 & (x ≤ −1, x ≥ 1) \end{cases} で定める（ψ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ) である）．

n ∈ ℕ に対して φ_{n}(x) := nψ(x − n) とおくと， ψ_{n} → 0 in E(ℝ) (n → ∞) であることを示せ．

(2) φ_{n}(x) := e^{\frac{x}{n}} とおくと， ψ_{n} → 1 in E(ℝ) (n → ∞) であることを示せ．

[84] T ∈ D′(ℝ^{N}) とする．このときコンパクト台の超関数の列 {T_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ E′(ℝ^{N}) が存在して T_{n} → T in D′(ℝ^{N}) (n → ∞) が成立することを示せ．

1一般に， h ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{N}) を ∫_{ℝ^{N}} h(x) dx = 1 が成り立つとしたとき， h_{ε}(x) := \frac{1}{ε^{N}} h (\frac{x}{ε}) と定めると h_{ε} → δ in D′(ℝ^{N}) (ε → +0) が成立します．