数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.10 （2025.5.20 出題）

 演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R7SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを期末試験で出題するかもしれません．

[73] （合成積） T ∈ D′(ℝ^{N}), φ ∈ D(ℝ^{N}) に対し， T と φ の合成積を (T ∗ φ)(x) := ⟨T, φ̃_{x}⟩ (x ∈ ℝ^{n})

によって定義する．ただし， φ̃_{x} ∈ D(ℝ^{N}) は φ̃_{x}(z) = φ(x − z) (z ∈ ℝ^{N}) で定義される関数である．

(1) f ∈ L_{loc}^{1}(ℝ^{N}) とする． f を超関数とみなしたものを T_{f} とおくと，任意の φ ∈ D(ℝ^{N}) に対して

(T_{f} ∗ φ)(x) = (f ∗ φ)(x) (x ∈ ℝ^{N})

が成立することを示せ．（右辺が well-defined であることを示す必要もある）

(2) 任意の φ ∈ D(ℝ^{N}) に対して δ ∗ φ = φ が成立することを示せ^{1}．

(3) 任意の T ∈ D′(ℝ^{N}), φ ∈ D(ℝ^{N}) に対して T ∗ φ ∈ C^{∞}(ℝ^{N}) であり，任意の α ∈ ℤ_{+}^{N} に対して

D^{α}(T ∗ φ)(x) = ⟨T, D^{α}φ̃_{x}⟩ (x ∈ ℝ^{N})

が成立することを示せ．

(4) φ_{k} → ψ in D(ℝ^{N}) (k → ∞) ならば， T ∗ φ_{k} は T ∗ ψ に ℝ^{N} 上で広義一様収束することを示せ．

[74] D′(ℝ) の元 (e^{x} − 1)δ′′ の階数を求めよ．

[75] T : D(ℝ) → ℂ を T (φ) = ∑_{n=0}^{∞} φ^{(n)}(n) = φ(0) + φ′(1) + φ′′(2) + φ′′′(3) + ⋯ と定める．

(1) T ∈ D′(ℝ) であることを示せ．

(2) T は階数をもたない（即ち，任意の m ∈ ℕ に対して T の階数は m 以下でない）ことを示せ．

（裏に続く） [76] (1) n ∈ ℕ に対し， sin nx を ℝ 上の超関数とみなす． n → ∞ としたとき，超関数としての極限の意味で sin nx → 0 が成り立つことを示せ．

1これは δ 関数が合成積 ∗ に関して「単位元」の役割を果たしていることを示唆しています．演習問題 No.4 [35] を参照．

（ヒント： sin nx = \frac{e^{inx} − e^{−inx}}{2i} と Riemann-Lebesgue の定理）

(2) n ∈ ℕ に対し， sin^{2} nx を ℝ 上の超関数とみなす． n → ∞ としたとき，超関数としての極限の意味で sin^{2} nx → \frac{1}{2} が成り立つことを示せ．

[77] f ∈ C_{0}(ℝ) とする．

(1) n ∈ ℕ に対し， f_{n}(x) = f(x − n) を ℝ 上の超関数とみなす． n → ∞ としたとき，超関数としての極限の意味で f_{n} → 0 が成り立つことを示せ^{2}．

(2) n ∈ ℕ に対し， g_{n}(x) = f (\frac{x}{n}) を ℝ 上の超関数とみなす．超関数としての極限 lim_{n→∞} g_{n} を求めよ．

[78] D′(ℝ) の元 e^{inx} p.v. \frac{1}{x} の n → ∞ における極限を求めよ．

（ヒント：議論の途中で Riemann-Lebesgue の定理を用います）

2証明をよく見ると， f_{n}(x) = nf(x − n) であっても f_{n}(x) = e^{n}f(x − n) であっても f_{n} → 0 in D′(ℝ) であることが分かります．