解析学 III チェックリスト−関数項級数とべき級数−（2025.6.25 配布）

プリントは https://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/takimoto/R7Kai3.html にも置いてあります．

１（解析学 I の復習） {a_{n}} を実数列とするとき，次の各問に答えよ．

(1) 「級数 ∑_{n=1}^{∞} a_{n} が収束する」ことの定義を述べよ．またそのとき，級数 ∑_{n=1}^{∞} a_{n} の和はどう定義されるか．

(2) 「級数 ∑_{n=1}^{∞} a_{n} が絶対収束する」ことの定義を述べよ．

(3) 「級数 ∑_{n=1}^{∞} a_{n} が条件収束する」ことの定義を述べよ．

(4) 級数 ∑_{n=1}^{∞} r^{n} が収束するような実数 r の範囲を求めよ．

(5) 級数 ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} が収束するような実数 s の範囲を求めよ．

(6) 「級数 ∑_{n=1}^{∞} a_{n} が交代級数である」ことの定義を述べよ．

(7) 交代級数に関するライプニッツの定理のステートメントを述べよ．

２ {f_{n}(x)} を A ⊂ ℝ 上の関数列， {a_{n}} を数列とする．次の各問に答えよ．

(1) 関数項級数 ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) が A 上で各点収束（一様収束，広義一様収束）することをどのように定義したか．

(2) 関数項級数 ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) に対するワイエルシュトラスの M-test のステートメントを述べよ．

(3) {f_{n}(x)} を [a, b] 上の連続関数列とする．関数項級数 ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) の項別積分に関する定理^{1}のステートメントを述べよ．

(4) {f_{n}(x)} を区間 I 上の C^{1} 級関数列とする．関数項級数 ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) の項別微分に関する定理^{2}のステートメントを述べよ．

(5) べき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束半径の（講義における）定義を述べよ．

(6) 次のべき級数の収束半径をそれぞれ求めよ．

(a) ∑_{n=0}^{∞} x^{n} (b) ∑_{n=0}^{∞} nx^{n} (c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{n} (d) ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{n^{2}} (e) ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} (f) ∑_{n=0}^{∞} n!x^{n} (g) ∑_{n=1}^{∞} (1 + \frac{1}{n})^{n^{2}} x^{n}

(7) 数列 {a_{n}} の上極限，下極限の定義をそれぞれ述べよ．

1 「∑_{n=1}^{∞} ∫_{a}^{b} f_{n}(x) dx = ∫_{a}^{b} ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) dx」が成り立つことを保証する定理のことです． 2 「(∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x))′ = ∑_{n=1}^{∞} f′_{n}(x)」が成り立つことを保証する定理のことです．

(8) べき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束半径に関するコーシー・アダマールの定理のステートメントを述べよ．

(9) べき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} に関するアーベルの補題およびアーベルの定理のステートメントを述べよ．

３次の各命題の真偽を判定し，その理由を述べよ． (2)〜(4) では A ⊂ ℝ とする．（下部

に各命題の真偽についてのみ解答を掲載しました．理由が分からないという方は質問してください．）

(1) 関数項級数 s(x) = ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) が区間 I 上で一様収束するならば， s(x) は I 上で連続である．

(2) 関数列 {f_{n}(x)} が A 上で一様収束するならば， ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) も A 上で一様収束する．

(3) 関数項級数 ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) が A 上で一様収束するならば， {f_{n}(x)} も A 上で一様収束する． (4) {f_{n}(x)} を A 上の関数列とする．もし，ある数列 {M_{n}} が存在して， f_{n}(x) ≤ M_{n}

(∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ A) かつ ∑_{n=1}^{∞} M_{n} が収束するならば， {f_{n}(x)} は A 上で一様収束する．

(5) {f_{n}(x)} を A 上の関数列とする．もし，ある数列 {M_{n}} が存在して， |f_{n}(x)| ≤ |M_{n}| (∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ A) かつ ∑_{n=1}^{∞} M_{n} が収束するならば， {f_{n}(x)} は A 上で一様収束する．

(6) 有界でない数列で，上極限と下極限が一致するものが存在する．

(7) 収束する数列で，上極限と下極限が一致しないものが存在する．

(8) 上限・下限・上極限・下極限が全て異なる数列が存在する．

(9) 任意の x ∈ ℝ に対して発散するべき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} が存在する．

(10) x = 1 のときに発散するが， x = −2 のときに収束するべき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} が存在する．

(11) 収束半径が R であるべき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} は，区間 (−R, R) 上で絶対収束かつ一様収束する．

(12) 収束半径が ∞ であるべき級数 f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} は， ℝ 上で微分可能である．

(13) δ > 0 とする． |x| < δ においてべき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n}, ∑_{n=0}^{∞} b_{n}x^{n} が収束し，かつ ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} =

∑_{n=0}^{∞} b_{n}x^{n} ならば， a_{n} = b_{n} (∀n ∈ ℕ ∪ {0}) である．

(14) f(x) を ℝ 上の C^{∞} 級関数とする．このとき，べき級数 ∑_{n=0}^{∞} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} の収束半径は

∞ であり， f(x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} (∀x ∈ ℝ) が成立する．

３ (1) 偽 (2) 偽 (3) 真 (4) 偽 (5) 偽 (6) 真 (7) 偽 (8) 真 (9) 偽 (10) 偽 (11) 偽 (12) 真 (13) 真 (14) 偽