解析学 III チェックリスト−関数列の収束−（2025.6.13 配布）

プリントは https://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/takimoto/R7Kai3.html にも置いてあります．

１次の問に答えよ．

(1) A ⊂ ℝ, {f_{n}(x)} を A 上の関数列とする． {f_{n}(x)} が f(x) に A 上で各点収束することの定義を論理記号を用いて述べよ（lim や「収束」という言葉を使わないこと）．

(2) A ⊂ ℝ, {f_{n}(x)} を A 上の関数列とする． {f_{n}(x)} が f(x) に A 上で一様収束することの定義を論理記号を用いて述べよ（lim や「収束」という言葉を使わないこと）．

(3) I ⊂ ℝ を区間, {f_{n}(x)} を I 上の関数列とする． {f_{n}(x)} が f(x) に I 上で広義一様収束（コンパクト一様収束）することの定義を述べよ．

(4) {f_{n}(x)} を A 上の関数列とする．一様収束に関するコーシーの判定法（{f_{n}(x)} が（あ

る関数に） A 上で一様収束するための必要十分条件）について述べよ．

(5) ディニの定理のステートメントを述べよ．（{f_{n}(x)} を [a, b] 上の単調増加な……）

２ f_{n}(x) = \begin{cases}n^{3}x & (0 ≤ x ≤ \frac{1}{2n}) \\ n^{2}(1 − nx) & (\frac{1}{2n} ≤ x ≤ \frac{1}{n}) \\ 0 & (\frac{1}{n} ≤ x ≤ 1) \end{cases} とおく．

(1) f_{n}(x) のグラフを描け．

(2) 関数列 {f_{n}(x)} の極限関数 f(x) を求めよ．

(3) 関数列 {f_{n}(x)} は f(x) に [0, 1] 上で一様収束するか否かを判定せよ．

３次の三つの性質を全て満たす [0, 1] 上の関数列 {f_{n}(x)} の例を挙げよ．

(i) 任意の n ∈ ℕ に対して f_{n} ∈ C([0, 1])． (ii) 任意の x ∈ [0, 1] に対して lim_{n→∞} f_{n}(x) = 0． (iii) lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(x) dx = ∞．

４次の各命題の真偽を判定し，その理由を述べよ．（裏面に各命題の真偽についてのみ解答

を掲載しました．理由が分からないという方は質問してください．）

(1) {f_{n}(x)} を A 上の関数列とし， B ⊂ A とする． {f_{n}(x)} が f(x) に A 上で一様収束するならば， {f_{n}(x)} は f(x) に B 上で一様収束する．

(2) {f_{n}(x)} が f(x) に A 上で一様収束するならば， {f_{n}(x)} は f(x) に A 上で各点収束する．

(3) {f_{n}(x)} が f(x) に A 上で各点収束するならば， {f_{n}(x)} は f(x) に A 上で一様収束する．

(4) {f_{n}(x)} が f(x) に区間 I 上で一様収束するならば， {f_{n}(x)} は f(x) に I 上で広義一様収束する．

(5) {f_{n}(x)} が f(x) に開区間 (a, b) 上で広義一様収束するならば， {f_{n}(x)} は f(x) に (a, b) 上で一様収束する．

(6) {f_{n}(x)} が f(x) に閉区間 [a, b] 上で広義一様収束するならば， {f_{n}(x)} は f(x) に [a, b] 上で一様収束する．

(7) {f_{n}(x)} を区間 I 上の連続関数列とする． {f_{n}(x)} が f(x) に I 上で一様収束するならば， f(x) も I 上で連続である．

(8) {f_{n}(x)} を区間 I 上の連続関数列とし， f(x) を {f_{n}(x)} の I 上の極限関数とする．もし f(x) が I 上で連続ならば， {f_{n}(x)} は f(x) に I 上で一様収束する．

(9) {f_{n}(x)} を区間 I 上の連続関数列， {a_{n}} を I 内の数列， α ∈ I とする． {f_{n}(x)} が f(x) に I 上で一様収束し， lim_{n→∞} a_{n} = α ならば， lim_{n→∞} f_{n}(a_{n}) = f(α) が成立する．

(10) {f_{n}(x)} を [0, 1] 上の連続関数列とし， {f_{n}(x)} は f(x) に [0, 1] 上で一様収束すると仮定する．このとき， {f_{n}(x)^{2}} は {f(x)^{2}} に [0, 1] 上で一様収束する．

(11) {f_{n}(x)} を [0, 1] 上の連続関数列とし， {f_{n}(x)} は f(x) に [0, 1] 上で一様収束すると

仮定する．このとき， lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(x) dx = ∫_{0}^{1} f(x) dx が成立する．

(12) {f_{n}(x)} を [0, ∞) 上で広義積分可能な連続関数列とし， {f_{n}(x)} は f(x) に [0, ∞) 上で一様収束すると仮定する．このとき， lim_{n→∞} ∫_{0}^{∞} f_{n}(x) dx = ∫_{0}^{∞} f(x) dx が成立する．

(13) {f_{n}(x)} を区間 I 上の C^{1} 級関数列とし， {f_{n}(x)} は f(x) に I 上で一様収束すると仮定する．このとき， f(x) も I 上で C^{1} 級であり，任意の x ∈ I に対して lim_{n→∞} f′_{n}(x) = f′(x) が成立する．

(14) {f_{n}(x)} を区間 I 上の C^{1} 級関数列とし， {f′_{n}(x)} は g(x) に I 上で一様収束すると仮定する．このとき， {f_{n}(x)} は I 上で一様収束し，極限関数 f(x) は I 上で C^{1} 級であり f′(x) = g(x) が成立する．

４ (1) 真 (2) 真 (3) 偽 (4) 真 (5) 偽 (6) 真 (7) 真 (8) 偽 (9) 真 (10) 真 (11) 真 (12) 偽 (13) 偽 (14) 偽

※極限と積分の順序交換，極限と微分の順序交換に関する定理のステートメントをよく確認しておくこと．