2025 年 6 月 26 日

解析学 III 演習 確認テスト第 5 回

学生番号：氏名：

問 1. {a_{n}} を上に有界な数列であるとする． {a_{n}} の上極限 lim sup_{n→∞} a_{n} の定義を書け．問 2. 次の空欄に当てはまる語句を 10 字程度で答えよ．

数列 {a_{n}} が ときは， lim sup_{n→∞} a_{n} = ∞ と定める．

問 3. 次の命題の真偽を判定し，真であれば○を，偽であれば×を書け．答えだけで良い．

(1) x_{0} > 0 とする．もしべき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} が x = x_{0} で収束するならば， ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} は x = −x_{0}

でも収束する．

(2) べき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束半径 R が 0 でないと仮定する．このとき， ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} は (−R, R) 上で一様収束する．

(3) f ∈ C^{∞}(ℝ) に対し，べき級数 ∑_{n=0}^{∞} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} の収束半径 R が 0 でないと仮定する．このと

き， (−R, R) 上で f(x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} が成立する．

(解答欄) 問 1.

lim sup_{n→∞} a_{n} =

問 2.

問 3. (1) (2) (3)