2025 年 6 月 19 日

解析学 III 演習 確認テスト第 4 回

学生番号：氏名：

問 1. 以下は，講義で学習したワイエルシュトラスの M-test （優級数定理）である． (A1) ， (A2) ， (A3) ， (B) に適切な数式・語句を当てはめよ． \underline{定理（ワイエルシュトラスの M-test）．} A ⊂ ℝ を空でない集合， \{f_{n}(x)\} を A 上の関数列とする．数列 {M_{n}} が存在し，次の 2 条件

(i) ∑_{n=1}^{∞} M_{n} は収束する．

(ii) 任意の (A1) と任意の (A2) に対して， (A3) が成立する．を満たすとき，関数項級数 ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) は (B) する．

問 2. 次の文章は講義におけるべき級数の収束半径の定義である．空欄に適切な数式・語句を当てはめよ．

べき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} に対し， R = sup を ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束半径と呼ぶ．ただし，右辺の sup が存在しない場合は R = ∞ と定める．

問 3. 次の命題の真偽を判定し，真であれば○を，偽であれば×を書け．答えだけで良い．べき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(x − 1)^{n} が x = 3 で収束するならば， x = −1 でも収束する．

(解答欄) 問 1. (A1) (A2) (A3)

(B)

問 2.

問 3.