2025 年 6 月 16 日

解析学 III 演習 確認テスト第 3 回

学生番号：氏名：

{f_{n}(x)} を [a, b] 上の関数列， f(x) を [a, b] 上の関数， c ∈ (a, b) とする．問. 次の命題の真偽を判定し，真であれば○を，偽であれば×を書け．答えだけで良い． (1) もし f_{n}(x) ⇉ f(x) on [a, b] (n → ∞) ならば， f_{n}(x) ⇉ f(x) on [a, c] (n → ∞) かつ

f_{n}(x) ⇉ f(x) on [c, b] (n → ∞) が成り立つ．

(2) もし f_{n}(x) ⇉ f(x) on [a, c] (n → ∞) かつ f_{n}(x) ⇉ f(x) on [c, b] (n → ∞) ならば， f_{n}(x) ⇉ f(x) on [a, b] (n → ∞) が成り立つ．

(3) 各 n ∈ ℕ に対して f_{n} ∈ C([a, b]) であり，かつ f_{n}(x) ⇉ f(x) on [a, b] (n → ∞) ならば，

lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} f_{n}(x) dx = ∫_{a}^{b} f(x) dx

が成り立つ．

(4) 各 n ∈ ℕ に対して f_{n} ∈ C^{1}([a, b]) であり， f ∈ C^{1}([a, b]) であり，さらに f_{n}(x) ⇉ f(x) on

[a, b] (n → ∞) ならば，

lim_{n→∞} f_{n}′(x) = f′(x) (∀x ∈ [a, b])

が成り立つ．

(解答欄)

(1) (2) (3) (4)