2025 年 6 月 12 日

解析学 III 演習 確認テスト第 2 回

学生番号：氏名：

I ⊂ ℝ を区間とし， {f_{n}(x)} を I 上の関数列， f(x) を I 上の関数とする．

問 1. {f_{n}(x)} が f(x) に I 上で広義一様収束（コンパクト一様収束）するとは，どういうことであるか説明せよ．

問 2. 次の命題の真偽を判定し，真であれば○を，偽であれば×を書け．答えだけで良い．

(1) もし「∀ε > 0, ∀x ∈ I, ∃N ∈ ℕ s.t. m, n ≥ N ⟹ |f_{m}(x) − f_{n}(x)| < ε」が成り立つならば， {f_{n}(x)} はある関数に I 上で一様収束する．

(2) {f_{n}(x)} を I 上の連続関数列とする． {f_{n}(x)} が f(x) に I 上で一様収束するならば， f(x) は I 上で連続である．

(3) {f_{n}(x)} が f(x) に I 上で一様収束するならば， {f_{n}(x)} は f(x) に I 上で広義一様収束する．

(解答欄)

問 1.

問 2. (1) (2) (3)