解析学 III 演習 小テスト No.1 解答（2025.6.23 出題）

１配点は 10 点です。問題 1-1，問題 1-2 の類題です．［解答］ x = φ(θ) = cos^{3} θ, y = ψ(θ) = sin^{3} θ はともに [0, π] 上で C^{1} 級関数であるから，曲線 C は長さをもつ．その長さ ℓ(C) は

ℓ(C) = ∫_{0}^{π} \sqrt{(φ′(θ))^{2} + (ψ′(θ))^{2}} dθ

= ∫_{0}^{π} \sqrt{(−3 cos^{2} θ sin θ)^{2} + (3 sin^{2} θ cos θ)^{2}} dθ = 3 ∫_{0}^{π} sin θ| cos θ| dθ

= 3 (∫0^{\frac{π}{2}} sin θ cos θ dθ + ∫ π_{\frac{π}{2}}(− sin θ cos θ) dθ)

= 3 ([\frac{1}{2} sin^{2} θ]0^{\frac{π}{2}} − [\frac{1}{2} sin^{2} θ]π_{\frac{π}{2}} ) = \underline{3} .

\underline{注意．}計算の途中で，平方根を外す際に絶対値を付け忘れて 3 ∫_{0}^{π} sin θ cos θ dθ とした人が多かったです（そのまま計算すると積分値は 0 になっておかしいことになりますね）． \underline{注意．}この問題の曲線 C はアステロイド（星芒形）と呼ばれる曲線の上半分（図の太線の部分）です．

O y

x −1 1

1

２配点は 3 点 + 7 点です． (2) は問題 2-4 の類題ですが，ほとんど同じです．

(1) ［解答］\underline{∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ s.t. ∀x ∈ A (n ≥ N ⟹ |f_{n}(x) − f(x)| < ε)} です．今回は減点しませんでしたが，カッコは必要ですので書いてください．記述の仕方はこれ以外にもいろいろあります．

(2) ［証明］任意に ε > 0 を取る． f(x) が ℝ 上で一様連続であるので， ∃δ > 0 s.t. ∀x, y ∈ ℝ, (|x − y| < δ ⟹ |f(x) − f(y)| < ε)

が成り立つ．この δ に対して， lim_{n→∞} a_{n} = 0 であるので，

∃N ∈ ℕ s.t. n ≥ N ⟹ |a_{n}| < \frac{δ}{2}

が成り立つ．この N に対して，任意に x ∈ ℝ を取ると， n ≥ N ならば，|(x−2a_{n})−x| =

2|a_{n}| < 2 · \frac{δ}{2} = δ であるから

|g_{n}(x) − f(x)| = |f(x − 2a_{n}) − f(x)| < ε

を得る．故に，関数列 {g_{n}(x)} は f(x) に ℝ 上で一様収束する． ■