解析学 III 演習 演習問題 No.6 （2025.6.26 配布）

小問について， (1), (2), ……と付いたものは小問ごとに発表して構いませんが， (a), (b), ……と付いたものはまとめて発表してください．

◇割り当て問題

問題 6-1 「{x_{k}}_{k=1}^{∞} が ℝ^{n} のコーシー列であるならば， {x_{k}}_{k=1}^{∞} は有界である」ことを， ℝ^{n} の完備性を使わずコーシー列の定義に従って示せ．

問題 6-2 ℝ^{n} の空でない部分集合 A に対して， diam A = sup{d(a, b) | a, b ∈ A} （集合 A の直径）と定める．ただし，右辺の sup が存在しないときは diam A = ∞ と定める．

このとき，「A が有界である ⟺ diam A が有限値である（即ち， diam A = ∞ ではない）」を示せ．

問題 6-3 x ∈ ℝ^{n}, ε > 0 とする．このとき， U(x; ε) は弧状連結であることを示せ．

（注意：「図より」はダメです！）

問題 6-4 A と B を ℝ^{n} の弧状連結な部分集合とする．もし A ∩ B ≠ ∅ ならば， A ∪ B は弧状連結であることを示せ．

◇自由発表問題

問題 6-5 A ⊂ ℝ^{n} とする．

(1) 「A が閉集合 ⟺ A^{c} ∩ ∂A = ∅」を示せ．

(2) 「A が閉集合 ⟺ A ⊂ {x ∈ ℝ^{n} | x は A の集積点}」を示せ．

問題 6-6 A ⊂ ℝ^{n} とする．このとき，次の (i) と (ii) が同値であることを示せ．

(i) A は有界閉集合である．

(ii) （点列コンパクト性） A の点からなる任意の点列は，必ず A の点に収束する部分列を含む．

（注意：数学通論 I で学んだように， (i) は「(iii) （コンパクト性） A の任意の開被覆は，必ず A の有限被覆を部分集合として含む」とも同値である）

問題 6-7 ℝ^{n} の空でない部分集合 A に対して， diam A を A の直径とする（問題 6-2 を参照）．

(a) もし A が有界であるならば，\overline{A} も有界であることを示せ．

(b) もし A が有界であるならば， diam A = diam \overline{A} であることを示せ．

問題 6-8 A ⊂ ℝ^{n} とする．もし A が連結であるならば，\overline{A} も連結であることを示せ．

問題 6-9 ℝ^{2} から可算個の点を除いた集合は弧状連結であることを示せ．

（注意： ℝ^{n} (n ≥ 3) でも同様のことが成立する）