解析学 III 演習 演習問題 No.5 （2025.6.23 配布）

小問について， (1), (2), ……と付いたものは小問ごとに発表して構いませんが， (a), (b), ……と付いたものはまとめて発表してください．

◇割り当て問題

問題 5-1 収束半径が 0 であるべき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} を一つ挙げよ．理由も付けること．

問題 5-2 (a) べき級数 ∑_{n=0}^{∞} x^{2n} の収束半径 R を求めよ．

(b) x ∈ (−R, R) に対し， f(x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{2n + 1}x^{2n+1} とおく． f(x) を求めよ．（ヒント：項別積分）

問題 5-3 (a) べき級数 ∑_{n=2}^{∞} \frac{x^{n}}{(n − 1)n} の収束半径 R を求めよ．（以下， f(x) = ∑_{n=2}^{∞} \frac{x^{n}}{(n − 1)n} とおく．）

(b) x ∈ (−R, R) に対し，項別微分により f′′(x) を求めよ．さらに，それを用いて f(x) を求めよ．

(c) (b) を用いて，級数 ∑_{n=2}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(n − 1)n} = \frac{1}{1 · 2} − \frac{1}{2 · 3} + \frac{1}{3 · 4} − \frac{1}{4 · 5} + \frac{1}{5 · 6} − ⋯ の和を求めよ．

（ヒント：アーベルの定理）

問題 5-4 べき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束半径を r， ∑_{n=0}^{∞} b_{n}x^{n} の収束半径を R とする．

もし r, R がともに実数で r < R であるならば， ∑_{n=0}^{∞}(a_{n} + b_{n})x^{n} の収束半径は r であることを

示せ^{1}．

◇自由発表問題

問題 5-5 前問（問題 5-4）において，もし r, R がともに実数で r = R であるならば， ∑_{n=0}^{∞}(a_{n}+b_{n})x^{n}

の収束半径は r (= R) よりも大きくなることがある．そのような例を挙げよ．ただし，「∞ は実数 r より大きい」と定める．

問題 5-6 {a_{n}} は有界列であり，発散すると仮定する．このとき， {a_{n}} の二つの部分列 {a_{m_{k}}}, {a_{n_{k}}} と二つの実数 β, γ が存在して， lim_{k→∞} a_{m_{k}} = β, lim_{k→∞} a_{n_{k}} = γ かつ β ≠ γ であることを示せ．

（裏面に続く）

1 要注意！「|x| < r なる任意の x で ∑_{n=0}^{∞}(a_{n} + b_{n})x^{n} が収束する」ことを示すだけでは答案として不十分です！！これだけでは，\underline{|x| > r で発散しているかが分からない}ため，収束半径が r であると言えません．「|x| > r なる任意の x で ∑_{n=0}^{∞}(a_{n} + b_{n})x^{n} が発散する」ことも示す必要があります．

問題 5-7 べき級数 f(x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{(2n + 1)(2n + 2)}x^{2n+2} の収束半径 R を求めよ．さらに， x ∈ (−R, R)

に対し，項別微分を利用して f′′(x) を求め，さらにそれを用いて f(x) を求めよ．問題 5-8 (1) べき級数の項別積分を用いて， arctan x の x = 0 の周りでのテイラー級数展開を求めよ^{2}．また，その級数展開（べき級数）の収束半径を求めよ．

(2) アーベルの定理を用いて級数 ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{2n + 1} = 1 − \frac{1}{3} + \frac{1}{5} − \frac{1}{7} + ⋯ の和を求めよ．

(3) (1) のべき級数を項別積分することにより，次の等式を証明せよ．

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{(2n − 1) · 2n · 3^{n}} = \frac{1}{1 · 2 · 3} − \frac{1}{3 · 4 · 3^{2}} + \frac{1}{5 · 6 · 3^{3}} − \frac{1}{7 · 8 · 3^{4}} + ⋯ = \frac{π}{6\sqrt{3}} − log \frac{2}{\sqrt{3}}.

問題 5-9 べき級数の理論を用いて，級数 ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n(2n − 1)} = \frac{1}{1 · 1} − \frac{1}{2 · 3} + \frac{1}{3 · 5} − \frac{1}{4 · 7} + ⋯ の和

を求めよ．問題 5-10 α, β, γ ∈ ℝ \ {0, −1, −2, … } に対し，べき級数 F (α, β, γ; x) を

F (α, β, γ; x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(α)_{n} · (β)_{n}}{(γ)_{n} · n!} x^{n}

と定める^{3}．ただし， r ∈ ℝ と n ∈ ℕ に対して (r)_{n} = r(r + 1) ⋯ (r + n − 1), (r)_{0} = 1 とする． (1) F (α, β, γ; x) の収束半径 R を求めよ．

(2) 記号を簡単にするため f(x) = F (α, β, γ; x) と書く．このとき，次を示せ^{4}． x(1 − x)f′′(x) + {γ − (α + β + 1)x}f′(x) − αβf(x) = 0 (x ∈ (−R, R)).

2ヒント： f(x) = arctan x の導関数 f′(x) は？さらに，和が f′(x) に一致する無限等比級数は？

3べき級数 F (α, β, γ; x) はガウスの超幾何級数と呼ばれます．

4この微分方程式はガウスの超幾何微分方程式と呼ばれます．