解析学 III 演習 演習問題 No.4 （2025.6.19 配布）

小問について， (1), (2), ……と付いたものは小問ごとに発表して構いませんが， (a), (b), ……と付いたものはまとめて発表してください．

◇割り当て問題

問題 4-1 関数項級数 f(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{3}} x^{n} は閉区間 [−1, 1] 上で一様収束することを示し，さらに f(x) は [−1, 1] 上で連続であることを示せ．

（ヒント：ワイエルシュトラスの M-test を用います．級数 ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{3}} は収束しますね．）

問題 4-2 関数項級数 f(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n−1}}{1 + x^{n}} は閉区間 [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] 上で一様収束することを示し，さらに f(x) は [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] 上で連続であることを示せ．問題 4-3 (a) 関数項級数 f(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{n sin nx}{3^{n}} は [0, π] 上で一様収束することを証明せよ^{1}．

(b) (a) の f(x) に対して，定積分 ∫_{0}^{π} f(x) dx の値を求めよ．（ヒント：項別積分）問題 4-4 関数項級数 f(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin nx}{n^{3}} が ℝ 上で C^{1} 級であることを示せ．（ヒント：項別微分）問題 4-5 べき級数 (a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n!}{n^{n}} x^{n} と (b) ∑_{n=0}^{∞} 2^{−n^{2}}x^{n} の収束半径を求めよ．問題 4-6 べき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} は x = x_{0} で発散し，かつ数列 {a_{n}x_{0}^{n}}_{n=0}^{∞} は有界であるとする．このとき，べき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束半径は |x_{0}| であることを示せ．（ヒント：アーベルの補題）問題 4-7 a_{n} = sin \frac{nπ}{3} , b_{n} = \frac{1}{n} sin \frac{nπ}{3} とおく．数列 \{a_{n}\}, \{b_{n}\} の上極限をそれぞれ求めよ．問題 4-8 {a_{n}} を有界な数列， k > 0 を定数とする．このとき，次を示せ．

(a) lim sup_{n→∞} (ka_{n}) = k lim sup_{n→∞} a_{n}. (b) lim sup_{n→∞} (−a_{n}) = − lim inf_{n→∞} a_{n}. 問題 4-9 {a_{n}}, {b_{n}} が有界な数列であるとき， lim sup_{n→∞} (a_{n} + b_{n}) ≤ lim sup_{n→∞} a_{n} + lim sup_{n→∞} b_{n} を示せ．また，この不等式の ≤ を = にすることはできないが，反例を一組挙げよ．

◇自由発表問題

問題 4-10 次の関数項級数が ℝ 上で連続であることを示せ．

(1) ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(nx^{3})}{2^{n} + x^{2}}. (2) ∑_{n=1}^{∞} \frac{nx^{3}}{n^{4} + x^{4}} . (3) ∑_{n=1}^{∞} (\frac{x}{n} − sin \frac{x}{n}).

（裏面に続く）問題 4-11 （フーリエ級数）実数列 {a_{n}}_{n=0}^{∞}, {b_{n}}_{n=1}^{∞} に対し，関数項級数

1級数に関するダランベールの判定法（解析学 I で学んだはず）を使うと良いでしょう．

f(x) = \frac{a_{0}}{2} + ∑_{n=1}^{∞}(a_{n} cos nx + b_{n} sin nx)

が [0, 2π] 上で一様収束しているとする．このとき，次を示せ．

a_{n} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} f(x) cos nx dx (n = 0, 1, …), b_{n} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} f(x) sin nx dx (n = 1, 2, …).

問題 4-12 次の関数項級数が区間 I 上で C^{1} 級であることを示せ．

(1) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{n}} sin \frac{x}{n}, I = ℝ. (2) ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos(nx^{2})}{n^{3}}, I = ℝ. (3) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{x}}, I = (1, ∞).

問題 4-13 次のべき級数の収束半径 R を求めよ．さらに， R が有限値である場合は x = R および x = −R において級数が収束するか否かをそれぞれ判定せよ．（一人 1 問まで）

(1) ∑_{n=0}^{∞} (\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}) x^{n}. (2) ∑_{n=0}^{∞} (\frac{2n}{2n + 1})^{n^{2}} x^{n}. (3) ∑_{n=0}^{∞} n^{log n}x^{n}. (4) ∑_{n=0}^{∞} x^{n!}.

(5) ∑_{n=0}^{∞}(1+a^{n})x^{2n}，ただし a > 0 は定数． (6) ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n}，ただし a_{n} = \begin{cases}2^{n} & （n が奇数のとき） \\ 3^{n} & （n が偶数のとき） \end{cases} .

問題 4-14 べき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束半径が R であるとき，べき級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{2n} の収束半径は\sqrt{R} であることを示せ．ただし， R = ∞ のときは，\sqrt{R} = ∞ と定める．問題 4-15 次の数列 {a_{n}}, {b_{n}} の上極限・下極限をそれぞれ求めよ．

a_{n} = (−1)^{n} + \frac{1}{n},
\{b_{n}\} : \{\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}, \frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}, \frac{1}{8}, \frac{2}{8}, \frac{3}{8}, \frac{4}{8}, … \} で定まる数列.

問題 4-16 上に有界な数列 {a_{n}} と α ∈ ℝ に対して，次の二つの条件が同値であることを示せ．

(i) lim sup_{n→∞} a_{n} = α.

(ii) X = {β ∈ ℝ | ある部分列 {a_{n_{k}}}_{k=1}^{∞} が存在して lim_{k→∞} a_{n_{k}} = β } とおくとき， α = max X.

（即ち， α は {a_{n}} の収束する部分列の極限として現れる数の最大値である）

問題 4-17 {a_{n}}, {b_{n}} を有界な数列であるとする．

(1) lim inf_{n→∞} a_{n} +lim sup_{n→∞} b_{n} ≤ lim sup_{n→∞} (a_{n} +b_{n}) を示せ．また，このことと問題 4-9 の結果（および講義で学習した内容）を併せて， {a_{n}} が収束するならば lim sup_{n→∞} (a_{n} + b_{n}) = lim_{n→∞} a_{n} + lim sup_{n→∞} b_{n} が成立することを示せ．

(2) a_{n} ≥ 0, b_{n} ≥ 0 (∀n ∈ ℕ) であり， {a_{n}} が収束すると仮定する．このとき， lim sup_{n→∞} (a_{n}b_{n}) = lim_{n→∞} a_{n} · lim sup_{n→∞} b_{n} が成立することを示せ．

問題 4-18 f(x) を閉区間 [a, b] 上で連続な関数であるとする．このとき，次を示せ．

lim_{n→∞} (∫_{a}^{b} |f(x)|^{n} dx)^{\frac{1}{n}} = max_{x∈[a,b]} |f(x)|.