解析学 III 演習 演習問題 No.3 （2025.6.12 配布）

小問について， (1), (2), ……と付いたものは小問ごとに発表して構いませんが， (a), (b), ……と付いたものはまとめて発表してください．

◇割り当て問題

問題 3-1 f_{n}(x) = 2n^{2}xe^{−n^{2}x^{2}} (x ∈ [0, 1]) とおく．

(a) [0, 1] 上の関数列 {f_{n}(x)} の極限関数 f(x) を求めよ．（x = 0 と x ∈ (0, 1] で場合分けが必要）

(b) lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(x) dx と ∫_{0}^{1} f(x) dx を計算せよ．

(c) (a), (b) の結果が示唆する事実を述べよ．

問題 3-2 f_{n}(x) = \frac{x}{1 + nx^{2}} , f(x) = 0 (x ∈ ℝ) とおく．

(a) {f_{n}(x)} は f(x) に ℝ 上で一様収束することを示せ．

(b) g(x) = lim_{n→∞} f_{n}′(x) (x ∈ ℝ) を求めよ．また， g(x) = f′(x) (∀x ∈ ℝ) は成立するか？

(c) (a), (b) の結果が示唆する事実を述べよ．

問題 3-3 次の二つを共に満たす [0, 1] 上の連続関数列 {f_{n}(x)} の例を挙げよ．

(i) 任意の x ∈ [0, 1] に対して lim_{n→∞} f_{n}(x) = 0. (ii) lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(x) dx = ∞.

（注意： 6/11 の講義で挙げた例は (i) は満たしますが lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(x) dx = \frac{1}{4} でした．少し変えれば……）

問題 3-4 {f_{n}(x)} を [a, b] 上の連続関数列， f(x) を [a, b] 上の連続関数とする．次の命題の真偽を判定せよ．

{f_{n}(x)} が f(x) に [a, b] 上で各点収束し，かつ lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} f_{n}(x) dx = ∫_{a}^{b} f(x) dx が成

立すると仮定する．このとき， {f_{n}(x)} は f(x) に [a, b] 上で一様収束する．

問題 3-5 I ⊂ ℝ を区間， {f_{n}(x)} を I 上の C^{2} 級関数列， f(x), g(x), h(x) を I 上の関数とする．もし {f_{n}(x)} は f(x) に I 上で各点収束し， {f_{n}′(x)} は g(x) に I 上で各点収束し， {f_{n}′′(x)} は h(x) に I 上で一様収束するならば， f ∈ C^{2}(I) であり， f′′(x) = h(x) (∀x ∈ I) であることを示

せ．（注意：一般に k 階導関数についても同様の結果が成り立ちます）

問題 3-6 関数項級数 ∑_{n=1}^{∞} x^{n} が (−1, 1) 上で一様収束しないことを，定義に従って示せ．

問題 3-7 関数項級数 ∑_{n=1}^{∞} \frac{x}{(1 + x)^{n−1}} は [0, ∞) 上で一様収束しないことを示せ．

（ヒント：関数項級数の和は実際に計算できます． [0, ∞) 上で一様収束すると仮定すると……）

問題 3-8 前問（問題 3-7）の関数項級数が (0, ∞) 上で広義一様収束するか否かを判定せよ．

（裏面に続く）

◇自由発表問題

問題 3-9 p > 0 とし， f_{n}(x) = n^{p}xe^{−nx^{2}}, f(x) ≡ 0 (x ∈ [0, 1]) とおく．

(1) 関数列 {f_{n}(x)} は f(x) に [0, 1] 上で各点収束することを示せ．

(2) 関数列 {f_{n}(x)} が f(x) に [0, 1] 上で一様収束するような p の範囲を求めよ．

問題 3-10 半開区間 (a, b] 上の連続関数列 {f_{n}(x)} が， (a, b] 上の関数 f(x) に一様収束し，かつ任意の n ∈ ℕ に対して f_{n}(x) は (a, b] 上で広義積分可能であると仮定する．このとき， f(x) も (a, b]

上で広義積分可能であり， lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} f_{n}(x) dx = ∫_{a}^{b} f(x) dx が成り立つことを示せ．

（注意：レポート問題 No.2 問３ (2) にあるように，無限区間上の広義積分では一般に成り立ちません．）

問題 3-11 [a, ∞) 上の連続関数列 {f_{n}(x)} が f(x) に [a, ∞) 上で広義一様収束し，さらに次の (i), (ii) を満たす [a, ∞) 上の連続関数 g(x) が存在すると仮定する：

(i) ∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ [a, ∞), |f_{n}(x)| ≤ g(x). (ii) 広義積分 ∫_{a}^{∞} g(x) dx は収束する．

このとき，広義積分 ∫_{a}^{∞} f(x) dx は収束し， lim_{n→∞} ∫_{a}^{∞} f_{n}(x) dx = ∫_{a}^{∞} f(x) dx が成り立つことを示せ．

問題 3-12 閉区間 [a, b] 上でリーマン積分可能な関数列 {f_{n}(x)} が f(x) に [a, b] 上で一様収束すると仮定する．このとき， f(x) は [a, b] 上でリーマン積分可能であることを示せ．

（注意：このとき lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} f_{n}(x) dx = ∫_{a}^{b} f(x) dx が成立します．証明は講義で述べた「極限と積分の順序交換」の定理と全く同じです．）

問題 3-13 関数項級数 ∑_{n=1}^{∞} x^{3}(1 − x^{2})^{n−1} が (a) 収束するような x の範囲 I を求め， (b) I 上で一

様収束するか否かを判定し， (c) I 上で広義一様収束するか否かを判定せよ．

問題 3-14 恒等式\frac{1}{1 + t} = 1 − t + t^{2} − t^{3} + ⋯ + (−1)^{n−1}t^{n−1} + \frac{(−1)^{n}}{1 + t} t^{n} (n ∈ ℕ, t ∈ [0, 1]) を示

し，これを用いて関数項級数 ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} x^{n} が log(1 + x) に [0, 1] 上で一様収束することを示せ．

（ヒント：恒等式を t について 0 から x まで積分する）

問題 3-15 f_{n}(x) = \frac{(−1)^{n−1}}{x + n} (x ∈ [0, ∞)) とする．

(a) 関数項級数 ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) は [0, ∞) 上で一様収束することを示せ．

(b) 任意の x ∈ [0, ∞) に対して，級数 ∑_{n=1}^{∞} |f_{n}(x)| は発散することを示せ．