解析学 III 演習 演習問題 No.2 （2025.6.9 配布）

小問について， (1), (2), ……と付いたものは小問ごとに発表して構いませんが， (a), (b), ……と付いたものはまとめて発表してください．

◇割り当て問題

問題 2-1 A ⊂ ℝ を空でない集合， {f_{n}(x)} を A 上の関数列， f(x) を A 上の関数とするとき，次の (a), (b) の命題の真偽を判定せよ．

(a) {f_{n}(x)} が f(x) に A 上で一様収束するならば， {f_{n}(x)} は f(x) に A 上で各点収束する． (b) {f_{n}(x)} が f(x) に A 上で各点収束するならば， {f_{n}(x)} は f(x) に A 上で一様収束する．

問題 2-2 f_{n}(x) = x^{n}(1 − x)^{n} (x ∈ (0, 1)) とおく．このとき， (a) 極限関数 f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x) を求め， (b) 関数列 {f_{n}(x)} が f(x) に (0, 1) 上で一様収束するかどうかを定義に従って調べよ．

問題 2-3 f_{n}(x) = \frac{nx}{1 + n^{2}x^{2}} (x ∈ [0, 1]) を考える．このとき， (a) 極限関数 f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x) を求め， (b) 関数列 {f_{n}(x)} が f(x) に [0, 1] 上で一様収束するかどうかを定義に従って調べよ．

（注意： (a) では x = 0 と x ∈ (0, 1] で場合分けが必要である）

問題 2-4 f(x) を ℝ 上で一様連続な関数とし， {a_{n}} を lim_{n→∞} a_{n} = 0 を満たす数列とする． ℝ 上の関数列 {g_{n}(x)} を g_{n}(x) = f(x + a_{n}) で定めるとき， {g_{n}(x)} は f(x) に ℝ 上で一様収束することを示せ．

問題 2-5 f_{n}(x) = \frac{nx}{1 + nx} (x ∈ [0, ∞)) を考える．このとき， (a) 極限関数 f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x) を求め， (b) 関数列 {f_{n}(x)} が f(x) に [0, ∞) 上で一様収束するかどうかを判定せよ．

（この問題の (b) については，定義通りに示しても講義で学んだ性質を用いて示しても良い）

問題 2-6 f_{n}(x) = x^{n} − x^{n+1} (x ∈ [0, 1]) を考える．このとき， (a) 関数 f_{n}(x) の最大値と最小値を求め， (b) 関数列 {f_{n}(x)} が [0, 1] 上で一様収束するかどうかを判定せよ．

問題 2-7 次の (a), (b) の各命題について，反例となる関数列 {f_{n}(x)} をそれぞれ挙げよ．

（講義・レポート問題・演習問題にある関数列を用いてよい）

(a) {f_{n}(x)} を [0, 1] 上の連続関数列とする．もし {f_{n}(x)} が f(x) に [0, 1] 上で各点収束し，かつ f(x) が [0, 1] 上で連続ならば， {f_{n}(x)} は f(x) に [0, 1] 上で一様収束する．

(b) {f_{n}(x)} を [0, 1] 上の単調増加な（または，単調減少な）連続関数列とする．もし {f_{n}(x)} が f(x) に [0, 1] 上で各点収束するならば， {f_{n}(x)} は f(x) に [0, 1] 上で一様収束する．

問題 2-8 f_{n}(x) = \frac{1}{(1 + x^{2})^{n}} (x ∈ (0, ∞)) を考える．関数列 \{f_{n}(x)\} は (0, ∞) 上で一様収束しないが， (0, ∞) 上で広義一様収束することを示せ．

◇自由発表問題

問題 2-9 f(x) は [0, ∞) 上の連続関数で， f(0) = 0 かつ lim_{x→∞} f(x) = 0 を満たすと仮定する． [0, ∞)

上の関数列 \{g_{n}(x)\} を g_{n}(x) = f(nx)f (\frac{x}{n}) で定めるとき， \{g_{n}(x)\} は [0, ∞) 上で一様収束することを示せ．

（裏面に続く）問題 2-10 A ⊂ ℝ を空でない集合， {f_{n}(x)} を A 上の関数列， f(x)， g(x) を A 上の関数とする．

(a) f(x), g(x) が A 上で有界であるならば，|sup_{x∈A} |f(x)| − sup_{x∈A} |g(x)|| ≤ sup_{x∈A} |f(x) − g(x)| が成

り立つことを示せ．

(b) 任意の n ∈ ℕ に対して f_{n}(x) は A 上で有界であると仮定する．このとき，もし {f_{n}(x)} が f(x) に A 上で一様収束するならば， f(x) は A 上で有界であり，かつ lim_{n→∞} (sup_{x∈A} |f_{n}(x)|) =

sup_{x∈A} |f(x)| であることを示せ．

問題 2-11 [0, 1] 上の関数 f(x) は次の二つの性質を満たすと仮定する． (i) ∀x ∈ [0, 1], 0 ≤ f(x) ≤ 1. (ii) ∃c ∈ (0, 1) s.t. ∀x, ∀y ∈ [0, 1], |f(x) − f(y)| ≤ c|x − y|.

いま， [0, 1] 上の関数列 {g_{n}(x)} を

g_{1}(x) = f(x), g_{n+1}(x) = f(g_{n}(x)) (n = 1, 2, 3, …)

により定義するとき， {g_{n}(x)} は（ある関数に） [0, 1] 上で一様収束することを示せ．

（ヒント：コーシーの判定法を用いる）

問題 2-12 次で定義される区間 I 上の関数列 {f_{n}(x)} が I 上で一様収束するかどうかを調べよ．講義で学んだ性質を用いても良い．（一人 1 問まで）

(1) f_{n}(x) = \frac{x^{n}}{1 + x^{2n}}, I = ℝ. (2) f_{n}(x) = nx(1 − x)^{n}, I = [0, 1].

(3) f_{n}(x) = n sin \frac{x}{n}, I = ℝ.

問題 2-13 区間 I 上の連続関数列 {f_{n}(x)} が f(x) に I 上で一様収束し， I 内の数列 {a_{n}} が α ∈ I に収束すると仮定する．このとき，次を示せ．

lim_{n→∞} f_{n}(a_{n}) = f(α).

（ヒント 1 ：連続関数列 {f_{n}(x)} が f(x) に I 上で一様収束しているのだから， f(x) は I 上で○○ですね．ヒント 2 ： |f_{n}(a_{n}) − f(α)| = |(f_{n}(a_{n}) − f(a_{n})) + (f(a_{n}) − f(α))|

≤ |f_{n}(a_{n}) − f(a_{n})| + |f(a_{n}) − f(α)| < · · · · · · ）

問題 2-14 次の命題の真偽を判定せよ．

区間 I 上の関数列 {f_{n}(x)} と I 上の関数 f(x) が「I 内の数列 {a_{n}} が α ∈ I に収
束するならば，必ず lim_{n→∞} f_{n}(a_{n}) = f(α) が成り立つ．」を満たすと仮定する．このと
き， {f_{n}(x)} は f(x) に I 上で一様収束する．

問題 2-15 （ディニの定理） {f_{n}(x)} を閉区間 [a, b] 上の単調増加な（または，単調減少な）連続関数列とする．もし {f_{n}(x)} が f(x) に [a, b] 上で各点収束し，かつ f(x) が [a, b] 上で連続ならば， {f_{n}(x)} は f(x) に [a, b] 上で一様収束することを示せ．

（注意：問題 2-7 の結果により，連続関数列 {f_{n}(x)} の単調性の仮定も，極限関数 f(x) の連続性の仮定も，どちらも落とすことができないことが分かります．）

問題 2-16 f_{n}(x) = \frac{nx}{1 + n^{2}x^{2}} (x ∈ (0, ∞)) を考える．関数列 \{f_{n}(x)\} は (0, ∞) 上で一様収束しないが， (0, ∞) 上で広義一様収束することを示せ．（注意：問題 2-3 とは定義域が異なります）