解析学 III 演習 演習問題 No.1 （2025.6.9 配布）

小問について， (1), (2), ……と付いたものは小問ごとに発表して構いませんが， (a), (b), ……と付いたものはまとめて発表してください．

◇自由発表問題

\underline{Def.} C : x = φ(t), y = ψ(t) (t ∈ [a, b]) を連続曲線とする． [a, b] の分割 Δ : a = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{n} = b

に対し， P_{k} = (φ(t_{k}), ψ(t_{k})) とおき， L_{Δ} = ∑_{k=1}^{n} \overline{P_{k−1}P_{k}} （\overline{P_{k−1}P_{k}} は線分 P_{k−1}P_{k} の長さ）と定める．も

し ℓ(C) = sup{L_{Δ} | Δ は [a, b] の分割} が存在するとき， C は長さをもつといい， ℓ(C) を C の長さという．

\underline{Th.} C : x = φ(t), y = ψ(t) (t ∈ [a, b]) が C^{1} 級曲線である（即ち， φ, ψ ∈ C^{1}([a, b]) である）ならば， C

は長さをもち， ℓ(C) = ∫_{a}^{b} \sqrt{φ′(t)^{2} + ψ′(t)^{2}} dt である．

※ f ∈ C^{1}([a, b]) のときの曲線 y = f(x) (x ∈ [a, b]) の長さや， g ∈ C^{1}([α, β]) のときの極方程式 r = g(θ) (θ ∈ [α, β]) で表される曲線の長さについては，解析学 II の講義ノートまたは教科書を参照のこと．

問題 1-1 a > 0 を定数とする．次の二つの曲線について，それぞれ概形を描き，曲線の長さを求めよ^{1}．

C_{1} : y = \frac{1}{2}x^{2} (x ∈ [−a, a]) のグラフ， C_{2} : r = aθ (θ ∈ [0, 4π]) のグラフ^{2}.

問題 1-2 a > 0 を定数とする．次の二つの曲線について，それぞれ概形を描き，曲線の長さを求めよ．

C_{3} : \sqrt{x} + \sqrt{y} = 1 で表される曲線， C_{4} : r = a(1 + cos θ) (θ ∈ [0, 2π]) のグラフ^{3}.

問題 1-3 φ(t), ψ(t) が共に [a, b] 上の連続な単調増加関数，または [a, b] 上の連続な単調減少関数であるとする．このとき，曲線 C : x = φ(t), y = ψ(t) (t ∈ [a, b]) は長さをもつことを示せ．

問題 1-4 a < c < b とする． C_{1} : x = φ_{1}(t), y = ψ_{1}(t) (t ∈ [a, c]), C_{2} : x = φ_{2}(t), y = ψ_{2}(t) (t ∈ [c, b]) をそれぞれ長さをもつ連続曲線で， φ_{1}(c) = φ_{2}(c), ψ_{1}(c) = ψ_{2}(c) を満たすとする．曲線 C_{1} の長さを L_{1}, C_{2} の長さを L_{2} とおく．

このとき， C : x = \begin{cases}φ_{1}(t) & (t ∈ [a, c]) \\ φ_{2}(t) & (t ∈ (c, b]) \end{cases}, y = \begin{cases}ψ_{1}(t) & (t ∈ [a, c]) \\ ψ_{2}(t) & (t ∈ (c, b]) \end{cases} で定義される連続曲線 C は

長さをもち，その長さを L とすると L = L_{1} + L_{2} であることを証明せよ^{4}．

（裏面に続く）問題 1-5 f(x) = \begin{cases}x sin \frac{1}{x} & (x ∈ (0, 1]) \\ 0 & (x = 0) \end{cases} とおき， y = f(x) (x ∈ [0, 1]) のグラフで表される連続曲線 C を考える．

1概形については説明不要です（例えば，コンピュータで描かせても構いません）が，曲線の長さについては導出過程を明記してください．問題 1-2 も同様です．

2アルキメデスの渦巻線と呼びます．私の手元にある高校の教科書（東京書籍「数学 III」）にも載っています．

3カージオイド（心臓形）と呼びます．これも高校の教科書（東京書籍「数学 III」）に載っています．

4C が連続曲線であることは証明しなくても構いません． C は C_{1} と C_{2} をつなげた曲線なわけですが，仮定より C_{1} の終点と C_{2} の始点が一致しているのですから， C は連続的につながっていますよね．

(1) 2 以上の自然数 N に対し， t_{k} = \frac{2}{(2(N − k) − 1)π} (k = 1, 2, …, N − 1) とおき， [0, 1] の分割 Δ_{N} : 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{N−1} < t_{N} = 1 を定める^{5}．このとき， P_{k} = (t_{k}, f(t_{k})),

L_{Δ_{N}} = ∑_{k=1}^{N} \overline{P_{k−1}P_{k}} とおくとき， L_{Δ_{N}} ≥ \frac{2}{π} ∑_{k=1}^{N−1} \frac{1}{2k − 1} であることを示せ．

(2) (1) の結果を用いて， C は長さをもたないことを示せ．問題 1-6 C : x = φ(t), y = ψ(t) (t ∈ [a, b]) を C^{1} 級曲線， h : [α, β] → ℝ を C^{1} 級関数で h(α) = a, h(β) = b, h′(s) > 0 (∀s ∈ [α, β]) を満たすものとする．

このとき， C′ を C′ : x = φ(h(s)), y = ψ(h(s)) (s ∈ [α, β]) で定まる C^{1} 級曲線とすると， ℓ(C) = ℓ(C′) であることを示せ^{6}．

5Δ_{N} は [0, 1] の N 等分割ではないことに注意！

6連続曲線が「長さをもつ」ことや曲線の長さは曲線のパラメータ付けを変えても不変であることが示せるのですが，この問題は C^{1} 級曲線のパラメータを C^{1} 級関数で変換した場合にそのことを示せというものです．