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代数数理

　 私たちが興味をもって取り組んでいる対象は代数幾何学・数論・群論・離散数学です．

　 代数幾何学は代数的に得られる図形の性質を調べる研究分野です．代数的に得られる図形とは，例えば，方程式 xⁿ + yⁿ =1 を満たす点 (x, y) の集合という意味です．この場合は代数曲線と呼ばれますが，更に高い次元の空間の中ではいくつかの多変数多項式の共通零点からなる代数多様体が研究対象となります．２０世紀になり群を初めとする代数学の基本概念が整備されるにつれて，代数幾何学は急速に発展しました．代数的に得られる図形は自然界にある図形の中でも基本的なものなので，数学の他分野ばかりでなく物理学や情報理論などとのつながりも深く，応用の広い分野です．

　 数論は数学の中で永い研究の歴史があり，数多くの著名な数学者の寄与がある分野です. 彼らを強くひきつけた魅力的な超難問（フェルマーの予想，リーマンの予想，レオポルドの予想など）があり，これらを解く努力のなかでさらに新しい問題が生まれてくるのが数論の魅力です．１７世紀以来の難問だったフェルマー予想の解決（ワイルズ，１９９４年）においては，保型形式の数論や数論幾何学といった現代的理論が縦横に用いられました．問題自身は簡単に述べることができても，その背後には，永年にわたって積みあげられた現代数学の最新の理論により，ようやく解明することが可能になった，深遠な世界が横たわっていたのです．

　 群は数の演算規則のなかの加法や乗法のみたす性質を高度に抽象化して得られるものです．それは自然界に現れる結晶構造の対称性にも由来しています．５次以上の代数方程式の解の公式が一般には作れないことの証明にある群の構造が役立ったことを一つの契機として，群論は豊かな世界をもつ研究分野に成長してきました．群は現代数学のいろいろな分野と関わりをもち，さらにその普遍性ゆえに，物理学・生物学のような他の諸科学においても重要な役割を担っています．

　 また，かつては純粋理論と見られがちだった代数学ですが，コンピュータの発達に伴い応用上も不可欠なものとなっています．コンピュータの動作原理は，有限集合上で代数演算を繰り返すことです．このため，データの暗号化，符号化，乱数発生など，多くの分野で高度な代数学が使われています．こういった有限集合の代数学，グラフ理論などの離散数学も，我々の主要な研究テーマの一つです．

幾何学

　 幾何学は，数学の中でも非常に古い歴史をもち，二千年以上も前から，多くの深い研究がなされてきました．ユークリッドの幾何学原本に集約されるギリシャの幾何は，その後の数学の発展の大きな原動力でありましたし，デカルトによる座標系の導入は，幾何と代数の接点をもたらし，ニュートンおよびライプニッツによる微分積分学の創設以後，解析学を用いて曲線・曲面等の研究がなされるようになりました．現代幾何学は，多様体という幾何学的対象を土台にして構築されております．多様体は，相対性理論において我々の宇宙を記述するモデルとして用いられており，現代物理学と密接な関係をもっているばかりでなく，代数幾何やトポロジー，解析学を初め，数学の多くの分野とも有機的に結びついております．私たちのグループでは，多様体を土台にこのようなさまざまな分野との関連の上に，リーマン幾何，部分多様体，極小曲面，半単純リー群や対称空間の微分幾何学的研究等を行っております．

　 かつて人々は，自分の目や手を用いて，自然界における数学的現象を分析し，幾何学を構築してきました．しかし，幾何学がこれほどまでに発展を遂げた今，それまで視覚や手計算に委ねてきたこれまでの方法は限界にきています．近年コンピュータによる図形，数式処理が可能になりました．私たちのグループでは研究にこのような新しい手段を積極的に活用しています．

位相数学

　 位相数学（トポロジー）は，図形やそれを一般化して得られた概念である多様体や，空間の性質を調べる数学です．歴史的には，オイラーが「ケーニヒスベルクの橋」の問題で，図形の「つながり具合」を数値化して解いたことに始まります．以後，図形や多様体などの「つながり具合」が，原始関数の表現や微分方程式の解の性質などを調べる上で本質的な役割を演じることがわかるにつれ，つながり具合によって，対象を分類していこうという立場があらわれてきました．このように数学では対象をいくつかの種類に分類することが有効であると考えられています．分類をするために位相数学では，対象を連続的に変形しても変らない性質や量を調べることが基本の一つとなっています．位相幾何学はこの方面の極端に発達した分野で種々の応用の可能性があります．多様体は現象が一般性や有界性を持つ場合に最も基本的な概念で，その研究は幾何学を中心に代数学や解析学を含んだ数学の基礎の一つとなることが期待されています．最近は次元が時空間に近い２・３・４次元多様体が，詳しく研究されるようになってきました．結び目やグラフなどはっきりと目に見える対象の深い研究や葉層構造や力学系など微分方程式の解の「性格」を調べる研究と直接つながったものもあります．

　 これらの研究や教育において，研究対象や結果をグラフィック表示し動的に理解することが可能になってきており，これらの手法を開拓し有効に利用していくことも重要です．

関数論

　 関数論は，複素数を変数とする関数を研究する分野で，いわゆる解析学の一部分を形成しています．それは，長い歴史の流れの中で，解析学の内部ではもちろんのこと代数学・幾何学など数学内の他の分野にも，とくに基本的な問題を提供するという形で多くの貢献を成し遂げてきました．

　 関数論は，その名から想像されるような，関数の一般的な理論だけを扱う分野ではありません．いわゆる解析関数や調和関数などの特別な関数のいっそう深く美しい性質を研究する分野です．解析性や調和性などの説明をいまここで述べる余裕のないのが残念ですが，高等学校でふつうに学ぶ関数――それは y = f(x) という形のものでしたが――において，従属変数 y が「ある美しい仕方で」独立変数 x に依存するものと想像してください．これらの関数の深く内在的な性質は，研究に値することがわかります．また一見したところの特殊性に反して他分野への応用にも十分耐えてきました．これらの関数が多くの側面をもつことがその重要性をよく物語っています．

さらに，現代では，関数の定義域や値域も，数の世界から曲面やもっと一般的抽象的な空間へと拡張されています．また，微分方程式で定義される関数の研究も近年大変進展し，数学，物理等に広く応用されています．これらの新しい研究方向も，そしてまた古典的な香り高い関数論も，それぞれに皆さんを魅了するでありましょう．

微分方程式

　 歴史的にみて，数学の最も大切な役割のひとつは「自然現象の解析」であるといえると思います．自然界における物理的現象や幾何学的現象の大部分は不連続に変化します．例えば，気象現象を考えてみてください．このことは，その現象を数学的に記述する（偏）微分方程式の非線形性として反映されます．

　 ２次方程式を解く際に，実数から複素数が導入されたように，微分方程式論においても，皆さんの知っている関数や積分（リーマン積分）を一般化した超関数やルベーグ積分の理論を使うことによって，１９６０年代から１９８０年代にかけて，線形偏微分方程式の理論は飛躍的に発展しました．この分野において，日本の多くの数学者が本質的な研究を行ない，現在わが国の偏微分方程式論は，世界的に極めて高いレベルにあります．

　 線形の理論が十分に整備された現在，（偏）微分方程式論は，本来の目的ともいうべき，自然現象の解析に向かう時期だといえると思います．我々は，不思議な自然現象を数学的に解明したい，あるいは，その現象の背後にある数学的に美しい理論を発見してみたい，そのような気持ちを原動力に研究を行っています．

　 微分方程式の研究には解析学の様々な分野の知識を必要としますので，ある意味で非常に難しい面もありますが，それだけやりがいのある分野だと思います．

確率論

　 高校の数学では，幾何や微積は得意だけれども確率は何となく苦手，という人が多いようです．例えば，確率の問題で答えを間違えたけれどもどこで間違えたのかがよく分からない，という経験をした人は多いのではないでしょうか．実際，確率の問題は，多くの場合サイコロのような誰にでも理解できる日常の言葉で述べられているにも関わらず，そこで述べられたことを正しく式で表現しようとすると，微妙な難しさがあることに気づくことがあります．

　 それでも，我々は，この現実の世界では，可能性がいくつかある不確実な状況化で判断し行動していることが多いものです．例えば「挑戦」という言葉は，それが失敗と成功の両方の可能性を踏まえての決断であることを意味します．必ず成功あるいは失敗することが分かっていることを行うのは挑戦とは言わないわけですね．

　 不確実さを我々の世界の本質的な要素であると考え，その不確実さをむしろ積極的に数学の力で分析し法則性をとらえ，場合によっては合理的な意思決定の助けにしようとすると，そこには非常に魅力的な世界が開けてきます．それが，現代の確率論の世界です．我々の世界はさまざまな種類の不確実さに満ちているため，確率論の応用される分野も，統計学，物理学，工学，生物学，経済学など多岐に渡っています．さらには，一見ランダムさとは無関係なものと確率論が結びつくこともしばしばあります．

　 広島大の数学科では，中でも，金融と保険の分野への確率論の応用の研究に力をいれています．金融と保険の数理は，現実の世界を対象にしながら高度な数学を適用できるという点で大変おもしろく，また解決されなければならない多くの問題が残されているという点でとてもやりがいのある分野だといえます．

数理統計学

　 私たちは，生活している物理的，社会的環境の中で，さまざまな不確実性に直面しています．また，一方，世の中にはさまざまな実験や観測や調査に基づく数字があふれています．これらの数字は「データ」あるいは「統計」と呼ばれます．テレビ・新聞・雑誌あるいは種々の報告書・専門書等，あらゆる所で，データの解釈・データによる説明・データを用いた主張が行われています．これらの解釈・説明・主張は，どのような分析手法と理論的根拠に基づいて行われているのでしょうか？

　 より一般的に，「私たちは不確実な状況のもとで，如何に決定を行ったらよいのだろうか？ また，ある特定の観測データから，新しい現象を発見したり，新しい理論を主張したりするためには，どのようにそれを一般化すればよいのだろうか？」という問題があります．不確実性を数量化することによってこのような問題に答える方法を，科学的に，技術的に，さらに芸術的に与えるのが２０世紀以降に急展開した統計学です．

　 数理統計学の目的は，データを集めることから始まって，それを分析し現状を認識し決定を下すまでの，科学的・客観的方法を研究することです．特に現代の数理統計学は，確率論をはじめ，さまざまな分野の数学をふんだんに用います．同時に，数理統計学は，理学・工学・医学・薬学・生物学・農学・経済学・心理学等あらゆる分野で応用されています．さらに，最近のコンピュータの発達に伴って，多種多様な統計計算が可能となり，その理論的裏付けを与える数理統計学の重要性はいっそう増してきています．

非線形生命数理学

　 私どもの研究室では，キーワードとして，「決定論的非線形制御理論」，「非線形性の探求」を掲げ，理論的，または，応用的な研究を行います．特に，シアノバクテリアや植物の生物活動，もしくは，生命活動に関連した非線形効果により興味深いダイナミクスが起きる系を，広い意味の解析学として，数理解析的な手法で微分方程式の解の性質として研究することをベースとします．さらに，数理的な決定論的制御理論を主題とします．解の振る舞いから制御予測やその意味の解説を行い，かつ，具体的な制御工学の問題にも取り組みたいと考えています．

複雑系生命数理学

　 無生物にも生物にも，原子，分子など，大きさの異なる複数の階層があります．生物の中では，多様な多数の分子が時々刻々と影響しあって細胞を作っています．さらに，多数の細胞が影響しあい内臓や脳などの器官を，多数の器官が影響しあい人間など個体を，多くの個体が影響しあい社会や生態系を作ります．生物が発生し，進化し，共存するにあたって，細胞，器官，個体，社会といった異なる階層はどう影響しあうのでしょうか？ このように複雑なシステムの科学は身近で重要な疑問が多く，開拓しがいのある分野です．細胞と細胞のような階層内部の相互作用と，異なる階層をまたぐ相互作用が生み出す数理的性質とその仕組みを発見できれば，生命現象や社会現象の理解を深め，天気予報のように現象の予測にも役立つと期待されます．

　私たちは，主に生物や物理や化学の知見に基づき，生命現象を数式でモデル化しています．数理モデルの計算機シミュレーションから現象の背後にある仕組みを予測し，その予測を生物実験等を通じて検証することで，複雑系の数理の一端を見出しています．研究室には数学・生物学・物理学の出身者が集まり，異分野を学びあいながら研究ができます．

現象数理学

　 自然科学，工学の分野において現れるさまざまな現象を記述する数理モデルがあります．例えば，高層建築物が地震の振動に耐えるかどうか，航空機，自動車，船舶が空気や水からどのような力を受けるか，電流の変化により電場磁場はどのように変わるか，これらはすべて数理モデルで記述されます．そのような数理モデルを現実に解く必要がありますが，現代に生きる我々はその手段として計算機(コンピュータ)を使います．計算機は基本的には加減乗除しかできませんので，数理モデルを計算機用に変換する必要がありますし，得られた解がモデルの元の解に近いことを示す必要があります．これらの解析に現代の数学が使われます．計算機で得られた解は大量の情報を含んでいますので，その理解のために画像処理（コンピュータ・グラフィクス）を使います．

　 自然現象の中にはその記述の仕方がわからないものも数多くあります．それらに対しても，モデル化，計算機シミュレーションそして数学による解析を用いて解くことを目指しています．

　 上に述べた二つのキーワード「数学」と「計算機」ができるということは非常に素晴らしいことなのです．１９９１年の日本国際賞の受賞者であるリオンス博士はこの二つを「現代の万能ツール」と呼んでいます．この二つを駆使すれば世の中の複雑な現象が解明できるということです．

　 現象数理学ではこのような立場から教育，研究に取り組んでいます．

生命流体数理学

　 流体力学は，水や空気の運動を解析する学問で，例えば生物の飛翔や遊泳と関係しています．また，流体運動自身に内在する数理的な性質にもよくわかっていないことが多く，現在でも活発に研究が行われています．

　当研究室では，
　・流体力学の研究
　・生物や生命現象の環境あるいは構成要素としての流体運動の研究
　・またこうした研究を行う上で必要な解析手法の研究
を行っています．こうした研究を通してさまざまな生物運動や生命現象の秘密に迫り，また逆に生物の素晴らしい機能を抽出してその数理科学的な意味付けを与え，役立てることを目指しています．

計算生命数理学

　 近年の計算機の急激な発展により，さまざまな複雑なシミュレーションを大規模に計算することが容易になってきました．このため計算科学的なアプローチが物理や生命科学の問題を解く上でますます重要になってきています．巨大な計算が行えるとは言え，例えば一つの細胞を構成するすべての分子の運動方程式を解くことはまだまだ不可能です．細胞のようなマクロな系の理解のためには現象の抽象化・理想化をする必要があり，そのために数理モデリングが不可欠となります．一方，生命科学の分野ではバイオイメージング技術，シーケンシング技術などが急速に発展し，さまざまな生体内現象がハイスループットで網羅的に計測可能になりつつあり，実験データの情報爆発とも言える状況にあります．膨大なデータからどのように生命の本質に迫ることができるのかがこれからの生命科学全体の課題となっています．

　本研究グループではこのような背景から，数理モデル，大規模計算，実験データの機械学習解析を駆使し，生命システムの数理的な理解を目指した分野横断的な研究を行うことを目的としています．特に，細胞や組織の運動，分子集団の共同現象，進化ダイナミクスなどを対象に，さまざまな不思議で面白い現象を，どのように数理的に記述し，定性的にメカニズムを説明できるか，あるいは定量的に実験データと比較できるか，という研究を行っています．また，非常に単純なシミュレーションであっても，それを大規模化することで新たな面白い現象が現れてくることもあります．このような発見法的に興味深い現象を見つけ，それに対応する現象を生命科学の方で探すという研究も行っています．