代数曲線の自己同型群について(サーベイ)

中島 匠一 (学習院大学理学部)

2001 年 10 月 16 日

代数閉体上の代数曲線の自己同型群について，今まで得られている結果を まとめて紹介する．(ここで，代数曲線と呼んでいるのは，正確には， 既約な完備非特異代数曲線のことである．)

まず，考えている代数閉体 (=基礎体) の標数がゼロの場合には， 問題は基礎体が複素数体である場合に帰着される． 複素数体上の代数曲線とはリーマン面のことであり， リーマン面の自己同型群については古典的に多くの結果がある． この講演での興味の対象は，リーマン面の種数 $g$ が 2 以上である時には， 自己同型群の位数は $84(g - 1)$ 以下である」という Hurwitz の結果である． 講演ではこの結果について説明したあと，基礎体の標数が正の場合に， 自己同型群の位数の評価についていくつかの結果を紹介する． 具体的な形は講演のときに与えるが，自己同型群について

・一般的な評価( Stichtenoth の定理)

・曲線の $p$ - ランクとの関連

・可換部分群の位数の評価

などが主なテーマである．