広島大学 トポロジー・幾何セミナー 講演者アブストラクト

• 4/7(金)：東條 広一 氏 （東京大学大学院数理科学研究科）- 固有かつ余コンパクトに作用する簡約部分群を持つ既約半単純対称空間の分類
  (Classification of irreducible semisimple symmetric spaces on which there exists a reductive subgroup acting properly and cocompactly)

  簡約型等質空間$G/H$に対し，固有かつ余コンパクトに作用す る$G$の簡約部分群が存在すれば， $G/H$ はコンパクトクリフォードクライン形を持つことが知られている． 既約半単純対称空間について， 現在までに得られているコンパクトクリフォー ドクライン形12系列は全て，この事実の帰結と捉えられる． 逆に，この事実によって得られる既約半単純対称空間のコンパクトクリフォード クライン形はその12系列に限られることを見る．



• 4/18(火)：Youngsik Huh 氏 （Hanyang University）- Problems on graphs in 3-space: Immersion into plane and linear embedding into 3-space
  

  Graphs are found in many mathematical, also other scientific contexts, besides graph theory itself, because they represent the complicated relations among specific objects of interest in a simpler and abstract way, hence enable us to derive the essential information that we want to see. Also in topology research, graphs are used as crucial tools. On the other hand a topological view plays a significant role in the study on graph itself. A good example for this is the “planarity of graph”. Graphs are divided into planar graphs and nonplanar graphs. More generally graphs are categorized according to the minimal genus of surface into which they are embeddable. In topological graph theory people had done or have been trying to describe the embeddability of graph into specific 2-dimensional spaces in the language of combinatorics, as can be seen from Kuratowski’s theorem, the work of Ringel, Young and Harary. Considering graph to be 1-dimensional complex, it can be embedded into the 3-space, so the codimension-two embeddability is trivial. But if some topological constraints are imposed on the codimension-two embedding we may encounter a bundle of problems on graphs. The linkless embedding and knotless embedding are well-known examples of such problems. In this talk we introduce other problems which stand along the same line.



• 5/9(火)：中村　昭 氏 （広島大学名誉教授）- デジタル結び目の計算量: 紹介と概観および問題
  

  コンピュータによる画像処理の見地から出発して、 格子点におけるトポロジーの概念がA. Rosenfeldによって1970年代に導入された。 現在 この分野はデジタル・トポロジーとよばれ、その数学的理論と画像解析への応用が活発に展開されている。 ところで、結び目理論の主要な課題は、二つの結び目が同値（結び目として）かどうか判定する問題である。 近年これについて様々な結果が報告されているが、 そのアルゴリズムの計算量に関して未解決な問題が知られている。 講演者はA. Rosenfeldと共著で“デジタル結び目”という概念を導入した。 この講演では、デジタル・トポロジーを基本的概念から出発して分かりやすく概説し、 それに基づいてデジタル結び目を定義する。 そして、この結び目における上記の判定手続きとその計算量の未解決問題について紹介する。 講演者のこの挑戦中の問題について、質問/コメント/示唆を念願している。



• 6/20(火)：寺垣内　政一 氏 （広島大学大学院教育学研究科・数学教育学講座 ）- Normal closures of slope elements in knot groups and the peripheral Magnus property
  

  結び目群において，スロープの定める正規閉包の間の様々な関係を調べる． 特に，Magnus propertyの類似として，非自明な結び目のスロープrとsに対して， それらの正規閉包が一致するのはr=sのときに限ることを結論できる．
  （英語版） Let $K$ be a nontrivial knot in $S^3$ with the exterior $E(K)$. A slope element $\gamma$ in $G(K) = \pi_1(E(K))$ is a nontrivial element represented by a simple closed curve on $\partial E(K)$. Each slope element $\gamma$ defines a normal subgroup $\langle\!\langle \gamma \rangle\!\rangle$, the normal closure of $\gamma$. We investigate their relations such as intersection and inclusion. In particular, we establish the ``peripheral'' Magnus property which asserts that $\langle\!\langle \gamma_1 \rangle\!\rangle = \langle\!\langle \gamma_2 \rangle\!\rangle$ if and only if $\gamma_1 = \gamma_2$ or $\gamma_1 = \gamma_2^{-1}$.



• 7/4(火)：直江 央寛 氏 （東北大学）- Shadow complexity が2以下のコルクについて
  

  単連結閉 4 次元多様体とエキゾチックな任意の 4 次元多様体は， コルクと呼ばれる可縮な部分多様体の貼り直しで必ず得られることが知られている． このコルクを系統立てて調べるために shadow complexity を導入する． 本講演では shadow complexity が低い場合の幾つかの例を紹介する． 具体的には，shadow complexity が 0 であるようなコルクが存在しないこと， そして 1 や 2 の値をもつコルクは無限個存在することについて述べる．



• 7/11(火)：石原 海 氏（山口大学）-Complete classification of generalized crossing changes between GOF-knots
  

  ファイバー曲面を1つの弧に沿って切ったりひねったりして別のファイバー曲面ができるのは、弧がモノドロミーに対して比較的単純なときであることが分かっている。このような弧を種数１のファイバー結び目（GOF-knot）に対して考える。その結果としてGOF-knotを含むすべての多様体において、GOF-knotから別のGOF-knotへの一般化された交差交換が決定できることを紹介する。本講演はMatt Rathbun 氏との共同研究に基づく。



• 7/14(金)：Julio César Barros (Rio Cuarto University) -NORMAL SECTIONS ON ISOPARAMETRIC HYPERSURFACES
  

  In this talk we will discuss the construction of the polynomials that define planar normal sections on isoparametric hypersurfaces. We will see that these polynomials are homogeneous of degree three. This property allows us to give a characterization of the hypersurfaces of Cartan. We also study the regular level sets of these polynomials, obtaining an interesting property.



• 10/3(火)：Luisa Paoluzzi 氏 （マルセイユ大学） -Character varieties of knots and their reductions mod p
  

  I will present joint work with Joan Porti (UAB) in which the SL(2,C)-character varieties of certain knots are studied. A first class of examples concerns a family of Montesinos knots whose character varieties contain high-dimensional irreducible components, different from the Teichmuller one. A second class of exemples concerns knots admitting either periodic or free symmetries: in this case, the existence and type of symmetries is reflected in the structure of (part of) the character variety. The interest of these varieties stems from the fact that they provide toy-examples of possible "ramification" phenomena that can occur when considering character varieties over algebraically closed fields of positive charcateristic, instead of over the field C of complex numbers.



• 11/14(火)：野崎 雄太 氏 (東京大学) -ホモロジーコボルディズムを用いた 3 次元多様体の不変量
  

  種数 1 で境界成分 1 つの曲面をページとするオープンブック分解を許容しないレンズ空間の存在が森元により示され，その後 Baker によりそのようなレンズ空間が完全に決定された． 本講演では，ホモロジーコボルディズムの言葉で定式化される類似の問題に対して得られた結果を紹介する． 主結果の証明においては，整係数 2 次形式や Chebotarev の密度定理などの整数論が重要な役割を果たす．



• 11/21(火)：金 英子 氏 （大阪大学理学研究科）, 廣瀬 進 氏 (東京理科大学理工学部) -Symmetric braids arisen as monodromies of branched virtual fibrations of closed 3-manifolds
  

  The branched virtual fibration theorem by Sakuma says that every closed orientable 3-manifold has a surface bundle over the circle as a 2-fold branched cyclic covering. It is proved by Brooks that we can make such a surface bundle hyperbolic. We are interested in the entropies of pseudo-Anosov monodromies of hyperbolic surface bundles arising in such a way. In this talk, we introduce the set of spherical braids with some symmetry. Each braid with 2g+2 strands in our set gives a pseudo-Anosov monodromy of genus genus g surface bundle which is a 2-fold branched cyclic covering over some closed 3-manifold. We show that the minimal entropy of all those braids with 2g+2 strands in our set behaves like 1/g. This means that the minimal entropy of monodromies of all hyperbolic genus g surface bundles coming from the theorem by Sakuma is asymptotically small.



• 11/28(火)：井ノ口 順一 氏 (筑波大学) - 3次元接触多様体上の磁場軌道
  

  測地流の一般化としてリーマン多様体上の磁場軌道が研究されている． 3次元多様体の接触構造から自然に定まる磁場軌道の周期性に関する成果を報告する． （M.I.Munteanu氏との共同研究）



• 12/12(火)：作間 誠 氏 (広島大学) - "Monodromy groups" of Heegaard surfaces of 3-manifolds
  

  ３次元多様体のファイバー曲面のモノドロミー群の類似を ヘガード曲面および橋曲面に対して考えることができる。 本講演では，まず最初に ２橋結び目の２橋曲面の"モノドロミー群"が持つ性質を述べた後， 一般のヘガード曲面および橋曲面の"モノドロミー群”の性質と 証明のアイデアを解説する。 前半の話題はDonghi Lee氏との共同研究， 後半の話題は大鹿健一氏との共同研究である。



• 1/15(月)：Thomas Koberda 氏 （バージニア大学） - Free products and diffeomorphisms of compact manifolds

  It is a well-known fact that if G and H are groups of homeomorphisms of the interval or of the circle, then the free product G*H is also a group of homeomorphisms of the interval or of the circle, respectively. I will discuss higher regularity of group actions, showing that if G and H are groups of C^{\infty} diffeomorphisms of the interval or of the circle, then G*H may fail to act by even C^2 diffeomorphisms on any compact one-manifold. As a corollary, we can classify the right-angled Artin groups which admit faithful C^2 actions on the circle, and recover a joint result with H. Baik and S. Kim. This is joint work with S. Kim.



• 1/19(金)：Norbert A'Campo 氏 （バーゼル大学） - Uniformisation by minimizing energy of curvature

  Let (S,m) be a compact oriented Riemannian surface of genus ≧ 2. The Energy of Curvature E(S, m), being the integral of the determinant of the Riemannian curvature, satisfies an inequality, that becomes an equality if and only if the Gaussian curvature is constant = -1. Hidden in this fact is a proof of the Uniformisation Theorem that we will present. For a Riemann surface (S, J) let E(S, J, φ) be the energy of E(S,φ*σ) where φ is a canonical embedding and σ is a Fubini-Study metric on projective space. Call the metric φ*σ critical if critical point of E. Many natural questions appear.