広島大学 トポロジー・幾何セミナー 講演者アブストラクト

• ２／１０：今別府 孝規 氏（広島大学理学研究科）-チェッカーボード彩色可能な仮想結び目のSawollek polynomialについて

  仮想結び目とは、Kauffmanが導入した新しい結び目の概念であり、古典結び目の 拡張にあたります。 鎌田直子氏によって、古典結び目とチェッカーボード彩色可能なダイアグラムで 表現される仮想結び目には近い性質があることが示されました。しかし、与えら れた仮想結び目がチェッカーボード彩色可能なのかどうかは容易には分からない 場合がほとんどです。そこで仮想結び目の不変量の性質をうまく利用することで、 ある仮想結び目がチェッカーボード彩色可能かどうかを判定することができます。 今回私はチェッカーボード彩色可能な仮想結び目のSawollek polynomialの性質 について紹介したいと思います。



• １／２７：山田 拓身 氏（島根大学総合理工学研究科）-ある種の可解リー群上の余コンパクト格子群の構成について

  冪零リー群が余コンパクト格子群を持つための必要十分条件は知られているが， 可解リー群の場合にはそのような必要十分条件は知られていない. 本講演ではあ る種の可解リー群の場合が余コンパクト格子群を持つための必要十分条件を主に 紹介する.



• １／２０：矢口 義朗 氏（群馬工業高等専門学校）-Hurwitz action on tuples of permutations

  Hurwitz 作用とは群の直積へのブレイド群による自然な作用であり，幾何的には 「ひねる」操作として説明できる。 群の直積の元のうち，第１成分から順に積 をとると単位元になるものを，その群のシステムとよぶことにする。ブレイド群 のシステムを Hurwitz 同値で分類する（Hurwitz 作用で軌道分解すること） は，２次・ｳブレイド（ブレイドの２次元版で分岐被覆を用いて定義される４次元 球体内の曲面）の完全不変量を与えることが，大阪市立大学の鎌田聖一先生に よって明かされている。ブレイドのシステムを Hurwitz 同値で完全に分類する ことは現段階では難しい。Hurwitz は対称群の互換からなるシステムの Hurwitz 同値類の代表系を決定した(1891年)。また，Itzhak-Teicher は，互換からなる システムを重み付きグラフを用いて表し，Hurwitz 軌道の元を特徴づけた(2003 年)。これらは単純２次元ブレイド（単純分岐被覆で定義される）の不変量を与 えている。本講演では，非単純な２次元ブレイド（さらにははめ込みも許した２ 次元ブレイド）の分類を試みるため，対称群の互換とは限らない置換からなるシ ステムにおける Hurwitz 作用を扱う。特に３次の対称群の場合のシス・eムの Hurwitz 同値類の代表系と Hurwitz 軌道の特徴づけについて報告する。なお講 演の前半では，Hurwitz 作用と２次元ブレイドの紹介，およびそれらの関係につ いて解説する。



• １／１３：Sangbum Cho 氏（Hanyang University）-The Goeritz groups of 3-manifolds

  Given a genus-g Heegaard splitting of a 3-manifold, the genus-g Goeritz group is the group of isotopy classes of orientation preserving homeomorphisms of the manifold preserving the splitting. It is natural to study the structures of Goeritz groups, and so finding their generating sets or presentations has been an interesting problem. But the generating sets or the presentations of those groups have been obtained only for few manifolds with their splittings of small genus. In this talk, we look over a brief history of this problem and introduce its recent progress together with some applications. This is a joint work with Yuya Koda.



• １／７：John Parker 氏（Durham University）-Non-arithmetic lattices

  By general results, the only semisimle Lie groups that can contain non-arithmetic lattices are SO(n,1) and SU(n,1). Examples in SO(n,1) were constructed by Gromov and Piatetski-Shapiro. In SU(1,1) there are infinitely many non-arithmetic lattices. Work of Deligne and Mostow from 1986 gave 9 examples in SU(2,1) and 1 example in SU(3,1). No examples are known in SU(n,1) for n at least 4. Recently, Deraux, Paupert and I have constructed 5 new examples and given strong evidence for a further 5 examples. These are the first examples constructed since the work of Deligne and Mostow. I will survey the background and indicate how we found our examples.



• １２／１６：直川 耕祐 氏 (神戸大学）-Isometric deformations of surfaces with singularities

  3次元ユークリッド空間内において，第一基本形 式を保つ曲面の変形を等長変形という． 本講演では，カスプ辺型および交叉帽子型の特異点をもつ曲面の等長変形と内 的不変量について紹介する．



• １２／２：森田 陽介 氏 (東京大学）-等質空間を局所モデルとするコンパクト多様体が存在するための障害

  等質空間 G/H の開集合を G の左作用で貼り合わせることで作った多様体を、 G/H を局所モデルとする多様体という。 本講演では、Lie環の相対コホモロジーに関するある条件が成り立つとき、G/H を局所モデルに持つ多様体は自動的に非コンパクトになってしまうことを証明し、 さらにその条件を満たす既約な対称空 間を分類する。 例えば、実不定値 Grassmann 多様体 O(p+r, q+s)/(O(p, q) × O(r, s)) は p, q が奇数かつ r+s が1以上のときコンパクト多様体の局所モデルになり得ない。 証明の鍵となるのは、G/H を局所モデルとするコンパクト多様体はLie環の相対 コホモロジーを「一様な下界」に持つ、 という小林・小野の結果と、相対Lie環のコホモロジー・特性類に関するH. Cartanの結果である。



• １１／２５：和田 幸史朗 氏（広島大学理学研究科）-素数冪位数の２点等質カンドルの分類

  カンドルが2点等質であるとは, 内部自己同型群がカンドルの対角集合の補集合 に推移的に作用するときをいう. 本講演では有限位数の2点等質カンドルが単純 であることを示し, 素数冪位数の2点等質カンドルが, 原始根を伴った有限体上 のアレクサンダーカンドルと同型となることを与える. また, 任意の有限位数の 2点等質カンドルが巡回型となることについても触れる.



• １１／１８：古宇田 悠哉 氏（広島大学理学研究科）-Knot homotopy in a subspace of the 3-sphere

  We say that a knot in a subspace of the 3-sphere is transient if it is moved by a homotopy within the subspace to the trivial knot in the 3-sphere. We show that every knot in a subspace of the 3-sphere is transient if and only if the exterior of the subspace is a disjoint union of handlebodies, i.e. regular neighborhoods of embedded graphs. Using the notion of transient knot, we define an integer-valued invariant of knots in the 3-sphere that we call the transient number. We then show that the union of the sets of knots with unknotting number one and those with tunnel number one is a proper subset of that with transient number one. This is joint work with Makoto Ozawa.



• １１／４：Gaven Martin 氏（Massey University）-Quasiregular Mappings, Curvature & Dynamics

  We survey recent developments in the area of geometric function theory and nonlinear analysis and in particular those that pertain to recent developments linking these areas to dynamics and rigidity theory in dimension $n\geq 3$. A self mapping (endomorphism) of an $n$-manifold is rational or uniformly quasiregular if it preserves some bounded measurable conformal structure. Because of Rickman's version of Montel's theorem there is a close analogy between the dynamics of rational endomorphisms of closed manifolds and the classical Fatou-Julia theory of iteration of rational mappings of the Riemann sphere. The theory is particularly interesting on the Riemann n-sphere where many classical results find their analogue, some of which we discuss here. We present the most recent results toward a solution of the Lichnerowicz problem of classifying those manifolds admitting rational endomorphisms. As a by product we discover interesting new rigidity theorems for open self maps of closed n-manifolds whose fundamental group is word hyperbolic.



• １０／１４：Ioannis Chrysikos 氏（Masaryk University）-Invariant connections with skew-torsion and applications

  We discuss invariant connections with skew-torsion on compact Lie groups and naturally reductive homogeneous manifolds. After describing certain properties and classification results for this kind of linear connections, we describe applications in geometry. For example, we generalize the notion of Einstein manifolds to $\nabla$-Einstein manifolds with skew-torsion. We prove that any compact naturally reductive non-symmetric space is such a manifold and we also generalize this result for homogeneous spaces with 2 isotropy summands.



• ９／９：Alexander Kolpakov 氏 （Univ. Toronto）-Higher-dimensional hyperbolic manifolds: constructions, new questions and examples.

  We shall overview the recent advances in the study of higher (4 and more) dimensional hyperbolic manifolds. In particular, we shall speak about constructing manifolds of minimal volume, enumeration or classification of manifolds, producing manifolds with certain given properties, e.g. given number of cusps or boundary components, given symmetry group. Special attention will be paid to dimension 4, where some new constructions have become recently available. This talk will be based on my work in progress with Bruno Martelli (University of Pisa), Leone Slavich (University of Pisa), and Steven Tschantz (Vanderbilt University).



• ８／６：Ingrid Irmer 氏（シンガポール国立大学）-Curve complexes and Johnson homomorphisms

  Curve complexes have been used for studying mapping class groups in a variety of ways. However, these arguments do not usually generalise to the Torelli group, i.e. the subgroup of the mapping class group that acts trivially on homology. Instead, much of what is known about the Torelli group comes from the work of Johnson. This talk will give a very elementary introduction to the Johnson homomorphism and show how it is related to a structure on a family of oriented curve complexes.



• ７／２２：笹木 集夢 氏（東海大学理学部数学科）-Visible actions on spherical nilpotent orbits

  複素単純リー環の球冪零軌道に対して， 内部自己同型群のコンパクト実型が可視的に作用することについて紹介する． 特・ﾉ，各軌道と交叉する部分多様体を構成する手法について， 具体例を交えながら解説する． 本講演の主結果によって，可視的に作用する冪零軌道の分類が与えられたことについても触れる．



• ７／１：村上 翔太 氏（慶應義塾大学理工学研究科）-Deformation equivalence classes of surfaces with first Betti number one, and second Betti number zero

  実４次元閉多様体Mが与えられたとき,Mとホモトピー同値である複素曲面の deformation equivalence classの数が有限であるかという問題を考えます。 この問に関しては,b1(M) が1と等しくない場合は,既に解かれています。 b1(M) = 1である場合に関しては未解決でありますが,特にb2(M) = 0である場合は, Mとホモトピー同値であるような曲面のdeformation equivalence classの数は 有限であることを示すことができました。今回,その証明の概略を 紹介したいと思います。



• ６／２４：安井 弘一 氏（広島大学理学研究科）-Partial twists and exotic Stein fillings

  様々な接触3次元多様体に対して，それらのStein fillingとなる境界付き 4次元多様体は高々有限個のみであることが知られている．本講演では positive allowable Lefschetz fibrationを利用して，同一の接触3次元多様体の 互いにエキゾチックな無限個のStein fillingを構成するアルゴリズムを与える． 構成には消滅サイクル及びファイバー曲面の改変操作とモノドロミーの 置き換えを用いる．主結果は主に4次元多様体に関するものであるが， 今回の講演ではなるべく境界の3次元多様体（オープンブック，デーン手術） の観点からの説明を行いたい．



• ６／１７：豊田 哲 氏 (鈴鹿工業高等専門学校）-On Estimations of nonlinear spectral gaps

  As nonlinear analogues of the linear spectral gap of the graph Laplacian, several invariants called non-linear spectral gaps have been defined. Nonlinear spectral gaps provide an effective tool for the study of geometric group theory and metric geometry, and estimates of these invariants are required in various contexts. In this talk, we briefly outline what kinds of estimates are required, and present some of the recent results obtained in a joint work with Takefumi Kondo (Nagoya).



• ６／１０：Brian Bowditch 氏 （Warwick大学，東京工業大学）-Rigidity properties of mapping class groups and related spaces

  An important aspect of geometric group theory concerns classifying groups and metric spaces up to quasi-isometry (that is coarse geometric equivalence). A related aspect is describing self-quasi-isometries. A recent result of Behrstock, Kleiner, Minksy and Mosher shows that the mapping class group of most compact surfaces are quasi-isometrically rigid: that is, any quasi-isometry is induced up to bounded distance by a homeomorphism of the surface. We describe how this and related results can be viewed in terms of a coarse median structure, (an idea inspired by work of Behrstock and Minsky). We obtain some variations and generalisations of this result.



• ６／３：大場 貴裕 氏 （東京工業大学理工学研究科）-写像類群による Stein filling の微分同相類の決定について

  3次元多・l体上の接触構造が Stein fillable であるとは、 その多様体を境界とするコンパクト Stein 曲面が存在し、 その Stein 曲面の複素構造が与えられた接触構造と適合するときをいう。 また、このコンパクト Stein 曲面のことを Stein filling と・｢う。 Stein filling は PALF と呼ばれる閉円盤上のファイバー構造を許容することが、 Loi と Piergallini、Akbulut と Ozbagci らにより示された。さらに、 この PALF はファイバーの曲面の写像類群による情報で扱えることが知られている。 本講演では、「Stein fillable な整ホモロジー球面のある族について、 その各々の Stein filling たちの微分同相類は一意である」ことを、 上記の Stein filling と PALF の対応をもとに写像類群によって示す方法を紹介する。 また、それらの Stein filling たちがどのような性質をもつ 4次元多様体であるかについても触れたい。



• ５／２７：奥田 喬之 氏 （九州大学）-Splitting of singular fibers with periodic monodromies

  開円板上の複素曲線族であって、唯一つ特異ファイバー・�持つことを 許したものをリーマン面の退化という。 リーマン面の退化には、実有向閉曲面の写像類との間に 特異ファイバーの周りのモノドロミ・[を通した良い対応関係があることが 松本・モンテシノスの結果から知られている。 本講演では、 「与えられた周期写像類を Dehn ツイストの合成と・ｵて具体的に表示する」 という問題に対して、はがし・ﾏ形を用いて 「対応する特異ファイバーを複数の Lefschetz ファイバーに分裂させる」 操作を対・桙ﾃけることによる有効な手法を構築することを目標とする。 特に、周期写像類の「親玉」に対応する特異ファイバーの Lefschetz ファイバーへの分裂可能性について述べたい。



• ４／２２：奥田 隆幸 氏 (広島大学）-半単純対称空間の直積への固有な対角作用

  G を実線形連結半単純Lie 群とし, (G,H), (G,L) をそれぞれ対称対とする(ここではH, L にコンパクト性は仮定 しない). このときG/H, G/L はそれぞれ擬リーマン対称空間となる. これらの対称空間G/H とG/L の直積に対し, G の対角作用を考えよう. 本講演では(G,H,L) から定まる佐武図形の三つ組を用いて この対角作用が固有であるか否かを判定する方法を述べる. 特にこの対角作用が固有であり, G/H が単連結であるような場合には, L のtorsion free なuniform lattice と同型な基本群を持つ(G,G/H)-多様体 (局所対称空間)が構成できる. また時間に余裕があれば, リーマン対称空間G/K 内の``互いにケンカしない'' totally geodesic な部分多様体の組の構成という形での主結果の言・｢換えにつ いても紹介する.



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