広島大学 トポロジー・幾何セミナー 講演者アブストラクト

• ３／５：Benjamin Burton 氏（The University of Queensland）-Computing which knots are large

  We present a new, practical algorithm to test whether a knot is large; that is, whether its complement contains a closed essential surface. This property has important theoretical and algorithmic　consequences, but systematically testing it has until now been infeasibly slow for knots in general. The new algorithm, which draws on several techniques from normal surface theory and linear programming, is fast enough to run over all 2979 prime knots with <= 12 crossings, as well as the two 20-crossing dodecahedral knots, yielding new invariant values that were not previously known. We introduce the topological software package Regina (in which the algorithm was implemented), and discuss the relevance of our results to other difficult computational problems in the theory of 3-manifolds.
  This is joint work with Alex Coward and Stephan Tillmann.



• ２／１９：中西 敏浩 氏（島根大学）-An infinite product associated to a hyperbolic three-holed sphere

  (0,3)型フックス群に付随して現れる McShaneタイプの恒等式を紹介する。 この恒等式は群としては同じ階数２の自由群である (1,1)型フックス群に付随する McShane, Tan-Wong-Zhang の恒等式の１つのvariationである。 合わせて階数２の自由群の原始元(primitive element)の特徴付けについても触れる。



• １／２９：高津 飛鳥 氏（名古屋大学）-回転対称な確率測度の等周不等式

  等周不等式とは集合の測度と周長の関係を表す不等式である. 本講演ではルベーグ測度に絶対連続でその密度関数が回転対称であるユークリッド空間上の確率測度に関する等周不等式について議論する.



• １／２２：笹木 集夢 氏（東海大学理学部数学科）-A generalized Cartan decomposition for spherical 4-symmetric spaces

  複素等質空間への群作用による各軌道と交叉する部分集合を どのように記述するかについて考える． 対称空間に対してはリー群論による古典的な結果が知られている一方， 非対称空間に対しては一般論は知られていない．
  本講演では，非対称な複素等質空間としてsphericalな4-対称空間とよばれるクラス に対してリー群論の視点により研究した結果を紹介する． この結果により，sphericalな4-対称空間における可視的作用が証明される．



• １２／１８：田中 亮吉 氏（東北大学）-Random walks on groups of prescribed volume grouwth

  I will talk about a version of law of large number for random walks on finitely generated groups, and introduce that it is usuful to describe ''boundary'' for exponential volume growth case.



• １２／１１：野田 尚廣 氏（名古屋大学大学院多元数理科学研究科/大阪市立大学数学研究所）-二階の過剰決定系に付随する接触幾何学

  本講演では, 2変数1未知関数の2階の過剰決定系にまつわる幾何学を微分式系の理論(2階のジェットの余次元2の部分多様体論)の 観点から論じ，いくつかの結果を紹介したい．講演内容は渋谷一博氏との共同研究を含む．



• １２／４：Cheng Zhiyun 氏（Beijing Normal University）-Region crossing change on link diagrams

  In this talk we will take a brief review of region crossing change which was proposed by Ayaka Shimizu. We will discuss the effect of region crossing change on link diagrams. In particular a necessary and sufficient condition for region crossing change being an unknotting operation is given. As an application we will offer a new approach to the Arf invariant of proper links.



• １１／２７：谷口 哲至 氏（松江工業高等専門学校）-ライングラフとその固有値問題：ルート系とグラフの関係

  ライングラフの最小固有値が$-2$以上であることは良く知られている。 これにより、最小固有値によるグラフの階層構造を知ろうという問題が自然と生じるのだが、 (良く知られている)ライングラフの構成法では最小固有値が$-2$よりも小さいグラフを構成する事はできない。 そこで R.~Woo と A.~Neumaier [1]は、 グラフの「辺」を「点」で置き換えるという単純な作業であるライングラフの構成法を高度に一般化し、 最小固有値が$-2$よりも小さいグラフの構成法を定式化した。 [1]では、最小固有値$-1-\sqrt{2}$以上のグラフが分類されている。 それには($9$種類の)ホフマングラフと呼ばれる特別なグラフ達の和の概念が用いられており、 そこにホフマングラフの既約性と共にルート系との関わりも生じる。 これこそ最小固有値によるク?ラフの階層構造を解明する道て?あり、 更に階層を降りる為にもっと多くのホフマングラフを知る必要がある。
  本講演ではグラフの固有値研究についての先行研究、 そして特に最小固有値問題についてこれまでの成果を紹介する。
  [1] R.~Woo and A.~Neumaier, "On graphs whose smallest eigenvalue is at least $-1-\sqrt{2}$", Linear Algebra Appl.~226-228 (1995), 577--591.



• １１／２０：新庄 玲子 氏（早稲田大学メディアネットワークセンター）-結び目図式の向き交代性と3つの性質の包含関係について

  講演者は以前に, Colin Adams氏(William College)と 田中心氏(東京学芸大学)と共同で, 結び目図式の補領域に関する研究を行った. その中で, 補領域の奇数辺形の個数に注目し「任意の結び目は, その補領域に奇数辺形を丁度二つ持つ図式で表すことができる」という定理を得た. この定理は, 図式を直接変形することで証明されるのだが, その結果として得られた図式は いくつかの特徴的な性質を持っている. 特に, 三種類の性質（奇数辺形が二つ, 二色塗り分け可能, 向き交代）が顕著なものとして挙げられる. 　本講演では, 結び目図式に関する上記三種類の性質に着目し, それらの包含関係を調べる. 実際, 「向き交代」の性質を詳しく調べることで, 包含関係に関するベン図 を完成させることができた. 本研究は田中心氏との共同研究である.



• １０／３０：野坂 武史 氏（九州大学数理学研究院）-カンドルと群の３次ホモロジーについて

  本講演では, 群とその群同型の組から定まるカンドルを扱い, 以下の結果 を紹介する. まず, その際Inoue-Kabaya鎖写像が, カンドルホモロジーから群ホモロ ジーへの写像とし, 定式化される事を見る. 例えば, 有限体上のAlexander quandle に対し, 望月3-コサイクル全ては, 当写像を通じ, 或る群コホモロジーから導出され る. 加えてカンドルの普遍中心拡大に対し, Inoue-Kabaya鎖写像が３次において(或 る捩れ部分を除き)同型となる. この同型性の応用として, 「結び目のShadow cocycl e 不変量が,"Z同変Dijkgraaf-Witten不変量"と等価になる」カンドルのよい必要条件 を得た.



• １０／２３：橋永 貴弘 氏（広島大学）-複素双曲空間内の等質 Ricci soliton 超曲面(1)
  久保 亮 氏（広島大学）-複素双曲空間内の等質 Ricci soliton 超曲面(2)

  Ricci soliton は Einstein 多様体の自然な一般化として広く研究がなされている. 特に可解リー群に左不変計量を入れた空間は非自明な Ricci soliton の例を供 給するので, 興味深い研究対象である. 他方, 我々は非コンパクト型対称空間内の等質部分多様体の幾何についても興味 を持っている. 今回我々は, 複素双曲空間内の "Lie 超曲面" と呼ばれる, ある種の可解リー群 と同一視される等質超曲面の中でRicci soliton であるものを分類した. 本講演 ではその分類結果および関連する話題を紹介する. 尚, 本講演は橋永・久保・田丸の共同研究に基づく.



• １０／１６：Chad Musick 氏（名古屋大学）-Recognizing Trivial Links in Polynomial Time

  Trivial links are unique up to number of link components, but they can be hard to recognize from arbitrary diagrams. We define a new measure of the complexity of a link embedding, the crumple, and show how this may be used to measure progress toward a trivial embedding. In conjunction with a modified form of arc presentations of links, we obtain a strictly monotonic, deterministic algorithm that recognizes triviality in links within polynomial time and space.



• ９／２５：Nikolay Abrosimov 氏（Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk）-Volumes of polyhedra in spaces of constant curvature

  We overview the volume calculations for polyhedra in Euclidean, spherical and hyperbolic spaces. We prove the Sforza formula for the volume of a compact hyperbolic tetrahedron of general type. We also present some results, which provide a solution for Seidel problem on the volume of non-Euclidean tetrahedron.



• ８／２１：Brian Bowditch 氏（Univ. Warwick）-Coarse median groups and spaces

  We describe a notion of a ``coarse median space''. Roughly speaking, this is a geodesic metric space equipped with a ternary relation, satisfying the properties of a median algebra up to bounded distance. It can be applied to finitely generated groups via their Cayley graphs. Many naturally occuring groups have such a structure. For example, hyperbolic groups are precisely the coarse median groups ``of rank one''. More interestingly, it follows from work of Behrstock and Minsky, that the mapping class groups also have a coarse median. Moreover, the property is preserved under taking products, and under relative hyperbolicity etc. One can derive various consequences from the existence of such a structure. For example, we can recover the rank theorem for the mapping class group, due to Behrstock and Minsky and to Hamenstadt. We will describe various other related results.



• ７／１７：門田 直之 氏（京都大学理学研究科）-Lefschetz fibrationのgeography問題について

  4次元symplectic多様体や一般型(代数)曲面のChern数の組の存在域を問う問題をgeography問題と呼ぶ. 4次元トポロジーと複素曲面を比較する研究手段の一つとして, 極小4次元symplectic多様体と 極小一般型曲面のgeography問題の比較があった. 異なる手法として, fibrationに対して定まる不変量の組の存在域を 問う問題の比較, いわゆるfibrationのgeography問題と呼ばれるものの比較がある. 一般型曲面の重要な研究手法として, 底空間とファイバーを(代数)曲線とする相対極小なfibrationを考えることが挙げられる. 一方, 4次元symplectic多様体には (ある操作を行うことで)Lefschetz fibrationという最も簡単なfibrationの構造が入ることが知られている. 本公演では, 一般型曲面におけるfibrationのgeography問題とLefschetz fibrationのgeography問題の相違について紹介する. 特に, slope不等式と呼ばれる不等式の違いについて言及したい. また, Lefschetz fibrationの基礎事項や具体例などを 時間の許す限り紹介したい.



• ７／１０：Yo'av Rieck 氏（University of Arkansas）-The link volume and cosmetic surgery (joint work with Yasushi Yamashita)

  In http://arxiv.org/abs/1205.1274 we defined the link volume of a 3-manifold M as follows. For a d-fold cover M \to S^3 branched along a hyperbolic link L, we assign the complexity d Vol(S^3 - L), that is, the degree of the cover times the volume of the complement branch set. The link volume of M, denoted LV(M), is the infimum of the complexities of all such covers. We observed that for hyperbolic manifolds LV(M) > Vol(M). In light of this, much of our work has been motivated by the question: how different are LV and Vol? In the same paper we show that given a compact orientable connected manifold X with boundary torus, there are constants A, B>0 so that LV(X(s)) < A depth(s) + B, where X(s) is the manifold obtained by filling along slope s, and depth(s) is the length of the continued fraction expansion of s (note that this depends on choice of basis for H_1 of the boundary; the constant B depends on this basis as well). In this talk we will discuss the continuation of this work, currently in progress. We show a weak converse to this: let X be a hyperbolic manifold with one cusp, let s_i be a collection of slopes on the boundary of X. Then if there exists C>0 so that LV(X(s_i))0, there exists a hyperbolic manifold M, with Vol(M) < 2.03 and LV(M) > V. Most of our work requires cosmetic surgery. In the talk, we will explain this relation. Time permitting, we will sketch the proof of one cosmetic surgery theorem which is of independent interest: let X be a compact orientable connected manifold with boundary tori, say T_1,...,T_n. Consider all the fillings X(s_1,...,s_n) that give S^3, with the assumption that the core of the solid torus attached to T_1 does not form a hopf link with the core of the solid torus attached to T_i (for any i). Then the set of slopes s_1 on T_1 obtained in this way is bounded in the Farey tessellation.



• ６／２６：Greg McShane 氏（東京工業大学）-Orthospectra and identities

  The orthospectra of a hyperbolic manifold with geodesic boundary consists of the lengths of all geodesics perpendicular to the boundary. We discuss the properties of the orthospectra, asymptotics, multiplicity and identities due to Basmajian, Bridgeman and Calegari. We will give a proof that the identities of Bridgeman and Calegari are the same.



• ６／１９：室谷文祥 氏（大阪市立大学数学研究所）-On $n$-noids of genus one

  3次元Euclid空間における種数1の$n$-ノイドは、 大きく2つのクラスに分けられる。 本講演ではこの結果を述べるとともに、 そのうち一方のクラスについて、 楕円関数による定式化を行う。 そして、この定式化のもとで得られた具体例を紹介する。 なお、本講演は加藤信氏（大阪市立大学）との共同研究に基づく。



• ６／１２：塩濱 勝博 氏（福岡大学）-K-双曲(射影)空間内の完備実超曲面とK-線束, K-線叢

  双曲(射影)空間の完備実超曲面の法ベクトルの定める曲率変換と型作用素が同一の固有空間を持つとき，超曲面は点、超平面、無限遠点を中心とする距離球面と一致する事を示す． これは局所的にはよく知られた事実である．



• ６／５：寺垣内 政一 氏（広島大学）-ツイスト結び目の例外的デーン手術と左不変順序

  群に対する不変順序の研究の歴史は長いが，近年，3次元トポロジーとの関連が 注目されている．素朴に，3次元多様体の基本群がいつ左不変順序を許容するかという 課題があげられる．たとえば，結び目群や絡み目群は左不変順序を許容する． 閉3次元多様体については，Boyer-Gordon-WatsonによるL空間予想が喫緊の課題であろう． Heegaard-Floer homologyを介して定義されるL空間の位相的特徴づけは懸案問題であるが， L空間予想とは，基本群が左不変順序を許容しないことが，有理ホモロジー球面がL空間であることを 特徴づけるという予想である． 本講演では，L空間予想を支持する立場から，双曲的ツイスト結び目の例外的デーン手術で 得られる多様体の基本群が左不変順序を許容することを述べる．



• ５／２９：安部 哲哉 氏（京都大学数理解析研究所）-Annulus twist, diffeomorphic 4-manifolds, and slice knots

  For a knot K, let X(K) be the 4-manifold obtained form the 4-ball by attaching a 2-handle along K with framing 0. In this talk, we give a method to obtain a sequence of knots {K_n} such that X(K_i) and X(K_j) are diffeomorphic for each integer i and j. Our key tool is an annulus twist which is an operation on knots introduced by Osoinach to construct homeomorphic 3-manifolds by Dehn surgery. As an application, we obtain potential counterexamples of the slice-ribbon conjecture, which are slice knots in a homotopy 4-ball. This is a joint work with In Dae Jong.



• ５／２２：大城 佳奈子 氏（日本女子大学）-On linear colorings for knots

  If a knot has the Alexander polynomial not equal to $1$, then it is linear $n$-colorable. By means of such a coloring, such a knot is given an upper bound for the minimal quandle order, i.e., the minimal order of a quandle with which the knot is quandle colorable. For twist knots, we study the minimal quandle orders in detail. This is a joint work with Chuichiro Hayashi and Miwa Hayashi.



• ５／１５：久保 亮 氏（広島大学）-非コンパクト型対称空間内の $S_\Phi$ 軌道の幾何

  非コンパクト型対称空間において, その放物型部分群の可解部分$S_\Phi$ の軌道が 等質部分多様体として外在的・内在的に非常に興味深い幾何をもつことが 近年の研究で知られてきている. 本講演では, それらの既知の結果に触れるとともに, 今回得られた"軌道の合同性"について紹介する. なお, 本講演の内容は田丸博士氏(広島大学)との共同研究に基づく.



• ５／８：清水 理佳 氏（広島大学理学研究科）-既約な結び目射影図における半ひねりスプライスについて

  本研究は伊藤昇氏との共同研究である. Calvo によって定義されたtwisted splice の特別な場合として, 半ひねりスプライス (half-twisted splice) という, 結び目射影図の局所変形を考える. 任意の2つの結び目射影図は, 有限回の半ひねりスプライスとその逆の変形で移り合う. 本講演では, 任意の2つの非自明で既約な結び目射影図は, 有限回の半ひねりスプライスと その逆の変形で, 既約性を保ったまま移り合うということを示す. また, 本研究の動機となったゲーム「領域選択ゲーム」も紹介する. このゲームは, 河内明夫教授, 岸本健吾氏との共同発明である.



• ５／１：斎藤 敏夫 氏（上越教育大学）-Meridional destabilizing number of knots

  Heegaard理論の立場からみた「結び目の標準的位置」として， (i) 結び目がHeegaard曲面に対して「ブリッジ」となるような位置， (ii) Heegaard分解を与えるハンドル体の中心となる位置などが 知られている．これらはそれぞれ (i) ブリッジ指数，(ii) トンネル数 といった結び目の不変量と密接な関係があり，結び目の「複雑さ」を表す 指標を与える概念であるといえる． 本講演では，これらの概念を用いることにより自然に得られる新たな指標 を提案する．さらに，この指標と合成結び目との関係を考察することにより， 結び目とその連結和が与える位相的影響についていくつか報告する．



• ４／２４：鎌田 聖一 氏（広島大学理学研究科）-チャートを用いた分岐被覆とブレイドの観察

  被覆空間の概念を少し広げた分岐被覆は曲面や３次元多様体論で基本的な概念である。 ２次元または３次元球面の分岐被覆はモノドロミーを用いて表される。 これをチャートの観点から観察することで、特に２次元の場合には、 構成や分類定理などを容易に理解することができる。これについて解説する。 関連して２次元ブレイドや３次元のケースについても触れる。



---

幹事：
作間 誠   E-MAIL : sakuma@math.sci.hiroshima-u.ac.jp
田丸 博士   E-MAIL : tamaru@math.sci.hiroshima-u.ac.jp
渋谷 一博   E-MAIL : shibuya@hiroshima-u.ac.jp
安井 弘一   E-MAIL : kyasui@hiroshima-u.ac.jp