広島大学 トポロジー・幾何セミナー 講演者アブストラクト

• 3/ 4 : Prof. Kurt Falk 氏　−Dynamics in hyperbolic manifolds−

  Recurrent dynamics in geometrically finite hyperbolic manifolds is well understood by means of Patterson-Sullivan theory. Such properties as the ergodicity of the geodesic flow still hold, as in the classical case where one employs the Liouville measure on the unit tangent bundle of a Riemannian manifold. For geometrically infinite hyperbolic manifolds the focus shifts to nonrecurrent dynamics, with mutually singular conformal measures associated to different infinite ends of a given manifold. Even more, nonrecurrent dynamics becomes the "thick part" of dynamics, not only in the sense of measure but also Hausdorff dimension, for manifolds with a dimension gap between recurrent and nonrecurrent dynamics. I will present basics on Kleinian groups, hyperbolic manifolds and Patterson-Sullivan measures as well as some known results on dynamics in hyperbolic manifolds. If time permits, I will also talk about newer research I was involved in.

• 2/ 5 : 西村 尚史 氏　−可微分写像の特異点論入門 II −

  前日に紹介した記号・概念・定理などを駆使し、 ２次元から３次元への多重写像芽に対して、A_e余次元0の特異点の分類をある程 度詳細に解説し、A_e余次元1の分類にどのように関連するのかにも触れる。

• 2/ 4 : 西村 尚史 氏　−可微分写像の特異点論入門 I−

  曲面結び目のダイアグラムとの関連を意識し、 ２次元から３次元への多重写像芽に重点を置き、その次元対での多重写像芽の A_e余次元0,1である特異点の分類を理解するために必要な記号・概念・定理など をできるだけわかりやすく紹介する。

• 1/29 : Prof. Yo'av Rieck 氏　−On the Heegaard genus of hyperbolic manifolds admitting a non-separating surface (joint work with Mark Brittenham)−

  Let M be a hyperbolic manifold, F a non-separating essential surface in M of genus g, M_n the n-fold cyclic cover of M dual to F and F_1,...,F_n the lifts of F to M_n. Lackenby and (independently) Rubinstein explored the Heegaard splittings of M_n using minimal surfaces. For simplicity, we will describe the results here in the special case where F is a fiber in a fibration of M over S^1. The main result of Lackenby and Rubinstein shows that if n is large enough then any minimal surface of genus 2g+1 can be isotoped to be disjoint from a fiber. This implies that for such n, g(M_n) = 2g+1 (here, g( ) denoted the Heegaard genus). In their work, Lackenby and Rubinstein assume that n is big in terms of M and F. Our main result is showing that n need to be big in terms g only, that is, there is a function f(g) so that if n > f(g), then g(M_n) = 2g+1. The plan of the talk is as follows: after defining the relevant terms and stating the main results, we will show why the statement about minimal surfaces implies that g(M_n) = 2g+1. Next we will prove Lackanby's and Rubinstein's result about minimal surfaces. The remainder of the talk will be devoted to proving our main result.

• 1/22 : 阿賀岡 芳夫 氏 −リーマン対称空間の局所等長埋め込み, II−

  前回（2007年11月6日）の講演に引き続き, Cayley 射影平面等を含むいくつかの対称空間について, 小林昭七により構成された標準埋め込みが局所的にみても最小次元の等長埋 め込みを与えること, 更に強い意味での剛性が成り立つことを解説する. その証明のために必要な道具として, 曲率の定める不変量を導入し, 具体的な計算結果を紹介する. また数多 く残されている未解決問題にも言及したい.

• 1/15 : 田中 利史 氏　−The positive index and the Rasmussen invariant of knots−

  結び目の自明な結び目との近さを表す結び目解消数は，結び目の「複雑さ」を表す不変量であり, 一般にその決定は難しいといわれている．結び目の不変量は数多く知られているが， 特にトーラス結び目の結び目解消数を全て決定できるものはあまり知られていない． ラスムセン不変量は，それを可能にする数少ない不変量の1つで，最近コバノフ理論を用いて 与えられた結び目のコボルディズム不変量である． 本講演では，結び目が正結び目にどの程度近いか，を調べるためにこの不変量を用いることが 可能であるということを紹介する．正結び目との「距離」については結び目の交差交換の最小数 を考えて与えられるゴルディアン距離をもちい，その交差交換数のことを結び目の正指数と定義する． 正指数は結び目解消数を下から評価する不変量となっている．特に負トーラス結び目や9交点以下の 結び目について多くの場合正指数が決定されることを紹介する．

• 1/ 8 : 石田　政司 氏　−Fang-Zhang-Zhang conjecture on the normalized Ricci flow−

  ４次元多様体上のnormalized Ricci flow の（曲率に関してある評価を満たす）時間大域解の存在が、その多様体のオイラー数、符号数、および（Gromovによる）simplicial volumeの間に成立するある単純な不等式を誘導 する、とFang-Zhang-Zhang （Math Ann, 2007)らにより予想されています。この予想は、筆者の知る限り未だ解決されていません。本講演では、予想の正確な定式化を述べた後、その予想の逆は成立しないことを報告したいと思います。即ち、その不等式を満たすにも関わらず、normalized Ricci flow の時間大域解が存在しないような４次元多様体が無限に 存在することを、証明のスケッチと共に報告する予定です。

• 12/18 : 堤 康嘉 氏　−The Caason-Walker-Lescop invariant of the cyclic covering branched over the torus knots −

  トーラス結び目で分岐する有限巡回被覆空間が整係数ホモロジー 3次元 球面のときのキャッソン不変量はよく知られているが、この講演では トーラス 結び目で分岐する有限巡回被覆空間が整係数ホモロジー3次元球 面以外の場合を 計算した結果を紹介する。

• 12/11 : 長友 康行 氏　−Harmonic mappings into Grassmannian manifolds−

  リーマン多様体からグラスマン多様体への写像が調和写像であるための条件を与 える。その応用として、コンパクト対称空間からグラスマン多様体へのエネル ギー密度関数が定数写像である調和写像を分類する。最後に、４次元球面におい ては、この分類がADHM構成に関連していることに触れたい。

• 12/ 4 : 木村 太郎 氏　−Stability of minimal submanifolds in compact symmetric spaces of rank two −

  リーマン対称空間とは，各点に対して点対称が定義されたリーマン多様体であ る．リーマン対称空間の全測地的部分多様体自身，リーマン対称空間になる．本 講演では，階数２のリーマン対称空間における全測地的部分多様体の分類およ び、その極小部分多様体としての安定性について報告する．

• 11/27 : 甲斐 千舟 氏　−等質有界領域の対称性条件, 性質の良い有界領域実現について−

  S. Bergman は複素有界領域 (に正則同相な領域) に対して, その Bergman 核 を用いて定義される写像 (Bergman 写像) を考察し, その像を代表領域と呼んだ. Bergman 写像の著しい性質の一つは, 二つの有界領域の間の正則同相写像が代表 領域の間のユニタリ同型写像になることである. 本講演では, 等質有界領域の標準的な非有界領域実現である等質 Siegel 領域 の Bergman 写像が, R. Penney や野村隆昭氏によって定義された Cayley 変換 と一致することを示す. これによって, 講演者が以前に証明した「Cayley 変換 の像の凸性による対称 Siegel 領域の特徴付け定理」を簡潔な形で再定式化する ことが出来る. また, Bergman 写像をある種の Kaehler 多様体に自然に拡張で きることも示す.

• 11/20 : 北野 晃朗 氏　−結び目群のSL(2;Z/pZ)-表現とその応用． （秋田大・鈴木正明氏との共同研究）−

  pを素数とし、結び目群からSL(2;Z/pZ)への線型表現を考える. SL(2;Z/pZ)は有限群であるから与えられた結び目群からの表現全体の個数は有限 個になる． この講演では表現の共役類の個数を結び目の不変量と考え、 p=2から23までの場合のその値、 また全射、非可換など表現に条件を付けた場合の値について、 計算機を用いて得られた結果とそこから見えてくる観察と命題、 また結び目を区別するという観点からのこの不変量の強さなどについて述べる．

• 11/13 : 松本 圭司 氏　−An arithmetic-geometric mean among four terms and a hypergeometric function of three variables−

  正数 a,b の算術幾何平均が超幾何関数を用いて表示 できることが Gauss によって 1799年に示された。 この講演では、４つの正数 a,b,c,d に対するある種の 算術幾何平均の定義を与え、それが３変数超幾何関数を 用いて表示できることを紹介する。

• 11/10 : 宮澤 康行 氏 −A polynomial invariant for unoriented virtual links−

  古典的結び目理論と同様，仮想結び目理論においても 不変量は研究上有用な役割を果たす道具であるとみなされている。 それゆえ，これまでに数多くの不変量が定義されている。 講演者は昨年，向きの付けられた頂点をもつ仮想マグネティック グラフと呼ばれる仮想結び目を拡張した概念を用いて， 向きの付いた仮想結び目に対し多変数多項式不変量を定義した。 この講演では，その多項式不変量を状態和と呼ばれる不変量構成 手法に利用することで，向きの付いていない仮想結び目に対し 多項式不変量が構成できることを示す。 さらに，その多項式についていくつかの性質を紹介する。

• 11/ 6 : 阿賀岡 芳夫 氏　−リーマン対称空間の局所等長埋め込み�T−

  すべてのリーマン多様体は十分高い次元のユークリッド空間へ局所的、 あるいは大域的に等長に埋め込めることが知られている(Janet-Cartan, Nash)。 その中で、特にリーマン対称空間は一般のリーマン多様体に比べ、かなり 低次元のユークリッド空間へ大域的に等長に埋め込めることが小林昭七により 示された。 　この講演では、Cayley 射影平面等を含むいくつかの対称空間について、この 埋め込みが局所的にみても最小次元の等長埋め込みを与えていること、更に 強い意味での剛性が成り立つことを解説する。１回目の講演では、対称空間の 埋め込みの構成法、及び主結果を紹介する予定でいる。

• 10/30 : 山田拓身 氏　−On a compact 3-dimensional complex parallelizable solvmanifold−

  ケーラー構造の場合と異なり、擬ケーラー構造をもつ、トーラスでないコンパク トな複素平行多様体が存在する。この講演では、このような多様体で特に３次元 複素平行可解多様体の場合の興味深い性質について述べる。

• 10/23 : 須川 敏幸 氏 −曲面上の錐特異性を持つ双曲計量について −

  向き付け可能な閉曲面は，オイラー標数が負であれば双曲計量（負の定曲率を持つ 完備リーマン計量）を持つことはよく知られている．いくつかの与えられた 点において与えられた角度の錐特異性を許せば，オイラー標数が非負の場合でも （錐特異性を持つ）双曲計量が存在することがあり，そのための必要十分条件も 古典的に知られている．この講演では，そのような双曲計量の錐角に関する単調性や， 球面上の３点に錐特異性を持つ場合に計量が超幾何函数を使って具体的に表現できる ことなど，知られているはずだが文献にはあまり現れない結果について概観する． また，最近得られた我々の結果(Anderson, Vamanamurthy, Vuorinenの３氏との 共同研究）や未解決問題についても触れたい．

• 10/16 : 佐伯　修 氏 −Elimination of definite fold−

  3次元以上の閉多様体から閉曲面への勝手な連続写像に対し、それと ホモトピックな可微分写像で、折り目とカスプのみを特異点として 持つもの（いわゆる excellent map）が常に存在することが知られている。 Excellent map が開写像となるためには、折り目特異点のうち定値のもの （いわゆる definite fold）を持たないことが必要十分である。本講演では、 値域曲面が2次元球面、あるいは射影平面のときに、そうした definite fold を持たないものが常に存在することを示す。さらに定義域が3次元多様体 のときに、そうした写像と接触構造との関わりについても言及したい。 なお、本講演の内容については O. Saeki, Elimination of definite fold, Kyushu J. Math. 60 (2006), 363-382 http://www.jstage.jst.go.jp/article/kyushujm/60/2/363/_pdf/-char/ja/ を参照されたい。

• 10/ 9 : 秋吉宏尚 氏 −穴あきトーラス群に対するside parameterについて −

  穴あきトーラス擬フックス空間上のside parameterという不変量が フォード領域の組み合わせ構造を用いてJorgensenにより定義された． この不変量は擬フックス空間の完全不変量となることが知られている． この講演では，次の結果を紹介する． １．Side parameterは擬フックス空間の閉包上の不変量へと拡張できる． ２．拡張されたside parameterも完全不変量である． ３．クライン多様体の幾何学的有限なエンドに対する無限遠等角構造と 幾何学的無限なエンドに対するending laminationにより定義される end invariantから定まる写像の逆写像とside parameterの合成により 定まる写像は，パラメータ空間上の同相写像である．

• 10/ 2 : Dr. Kenneth Shackleton −On the large-scale geometry of the Weil-Petersson metric−

  We recall joint work with Javier Aramayona and Hugo Parlier, studying the geometry of the pants graph of a surface after Hatcher and Thurston. Inspired by a recent theorem of Brock's, the aim of this work is to reinforce the pants graph as a good combinatorial model for the Weil-Petersson metric. We then discuss a question of Brock's and in two important cases prove, in outline, the existence of an algorithm for the computing of distances in the pants graph.

• 7／31 ： Prof. Danny C. Calegari −Combable functions, quasimorphisms and the central limit theorem−

  We discuss a circle of ideas involving interactions between bounded cohomology, ergodic theory, and computer science. These seemingly disparate tools are unified in the context of hyperbolic groups by the theme of locality. We introduce the class of combable and bicombable functions, roughly, functions whose discrete derivatives can be calculated by certain simple machines. We show that the Epstein-Fujiwara quasimorphisms are bicombable; conversely, any bicombable antisymmetric function on a hyperbolic group is a quasimorphism, thus showing that quasimorphisms arise naturally in the context of automatic group theory. The finite structure of a bicombable function leads to a simple structure theory for the distribution of its values on a group. This lets us prove that the distribution of values of the Epstein-Fujiwara quasimorphisms on hyperbolic groups satisfy a central limit theorem. This is joint work with Koji Fujiwara.

• 7／24 : 門上 晃久 氏 −ライデマイスター不変量と 2 成分絡み目に沿うレンズ手術−

  2 成分絡み目に沿うデーン手術がホモロジー レンズ空間（1 次元ホモロジー群が有限巡回群）となるときの ライデマイスター不変量を計算する。これにより、その多様体 がレンズ空間になるための必要条件を得る。そして、いくつか の具体例に応用を試みる。

• 7／10 : 寺垣内 政一 氏 −Hyperbolic knots with three toroidal Dehn surgeries−

  It is conjectured that a hyperbolic knot admits at most three Dehn surgeries which yield closed $3$-manifolds containing incompressible tori. We show that there exist infinitely many hyperbolic knots which attain the conjectural maximum number. Interestingly, those surgeries correspond to consecutive integers.

• 7／ 7 ： 谷山 公規 氏 −Multiplicity of a space over another space−

  集合と写像のカテゴリー（Ｓ）、位相空間と連続写像のカテゴリー（Ｔ）、群と準同形写像のカテゴリー（Ｇ）のそれぞれにおいて以下を定義す る。$X$、$Y$をオブジェクトとする。$X$から$Y$へのモルフィズム$f$に対して、$f$の多重度$m(f)$を、$Y$の元$y$の$f$ による逆像のcardinality、の$y$を$Y$の中で動かしたときの\lq\lq 最大値"として定義する。$X$の$Y$上での多重度$m(X:Y)$を、$f$を$X$から$Y$へのモルフィズムの中で動かしたときの$m(f)$ の\lq\lq 最小値"として定義する。オブジェクト$X$と$Y$に対して${\rm d}(X,Y)={\rm log}_e(m(X:Y)m(Y:X))$と定義する。適当なオブジェクトの集合上でこの$d$を考えると距離空間となることを示す。

• 7／ 3 ： 後藤 竜司 氏 −Deformations of generalized geometry, generalized Calabi-Yau,hyperK\"ahler, G_2, Spin(7) structures−

  一般化された幾何学は多様体 X 上の接束 TX を接束 TX と余接束 T^*X の直和 に置き換えて幾何を構成するという単純なアイデアに基づいている。 これから、直和 TX + T^*X 上に自然な二次形式ができ、 クリフォード群を対称性に持つ幾何学が生まれる。 この講演では、クリフォード群を対称性に持つ幾何学として、 一般化された幾 何と導入し、一般化された Calabi-Yau, hyperK\"ahler, G_2, Spin(7) 構造が自然に構成されていくのを見る。 これらの構造の変形理論を確立し、非障害性定理、局所トレリ型定理を示す。

• 6／26 ： 矢口 義朗 氏 −3次のブレイド群のHurwitz作用について−

  ブレイド群のｎ個の直積集合には，ｎ次のブレイド群の作用（Hurwitz作用と呼ばれる）が与えられる。現在までに，この作用についての研究報告は数少ない。例えば，この作用のある点におけるisotropy群については殆ど例がない． そこで今回は，4次のブレイド群の3個の直積集合のある標準的な元におけるisotropy群と， それで割った剰余類の計算結果，計算方法を見ていく。 さらに，この結果が4次元球に埋め込まれた特定のbraided surfaceにおける， ある2つの同値関係の「差」として現れることとを， チャート表示を通して見ていく。

• 6／12 ： 佐藤 隆夫 氏 −自由群の自己同型群のねじれ係数ホモロジー群−

  自由群の自己同型群は，自由群のアーベル化，及びその双対加 群に作用している．講演ではこれらの作用に関する自由群の自己同型群の1，2次元ホ モロジー群の計算結果について紹介する．これは，森田茂之氏の写像類群のホモロジー 群に対する結果の自由群の自己同型群版である．講演では自由群の自己同型群に限ら ず，一般に，有限表示を持つ群の1,2次元ホモロジー群の組み合わせ群論的な計算法 なども紹介したい．

• 6／ 5 ： 中山 裕道 氏 −軌道に沿った微分の挙動について−

  低次元力学系においては，不変な葉層構造が有用である． 本講演では，これを構成するために重要となる線形ポアンカレ流と その射影化である射影化流について，その力学系的な性質を解説する． 行列の１次変換の性質をどのように力学系にのせるかを説明する．

• 5／22 ： 阿賀岡 芳夫 氏 −多角形による平面のタイリング−

  一種類の多角形を使ってできる平面のタイリングについて，入門的な解説を 行います．タイリングは日常的にも多くの場で目にする馴染みのある図形 ですが，これを数学的にとらえると，どのような問題が考えられ，何が 分かっており，何が未解決問題であるか，多くの図をＯＰＨで紹介しながら 解説する予定です．

• 5／15 ： 大鹿 健一 氏 −Divergence, exotic convergence, and self-bumpings in deformation spaces−

• 5／ 8 ： 大城 佳奈子 氏 −Trivial quandle と dihedral quandle の good involution の決定−

• 4／24 ： 田丸 博士 氏 −Parabolic subgroups of semisimple Lie groups and Einstein solvmanifolds−

• 4／17 : 作間 誠 氏 −Fractal tessellation of the plane associated with Cannon-Thurston maps−