2006年度数学概論

• 数学概論は, 大学院修士課程１年向けの輪講科目です.
• ここは, 田丸が担当した 5/15 と 5/22 の講義の内容の記録です.

概要

• タイトルは「幾何学と不変量」.
• 幾何学（だけでなく数学全般）に於ける基本的な概念である「不変量」の考え方を, 実例を挙げながら解説する. 数学の様々な分野に共通する「考え方」や「道筋」を念頭に置くことは, 全体の見通しの良さに繋がるだろう.
• 講義時間に配布したプリントはこちら: [pdf (99KB)].

内容

• プリント参照.

レポート

• レポートの課題は, 不変量の例, また, 不変量から何かが分かるという型の定理の例を挙げ, それを説明せよ, というものでした.
• レポートに書かれていた内容の一部を, 記録しときます.

中学・高校で学ぶ数学に登場する不変量

• ２次方程式の判別式は, 自明な同値関係に関する不変量（実数解の個数が分かる）.
• 放物線 y = ax^2 + bx + c の a の符号は, 平行移動に関する不変量（上に凸, 下に凸が分かる）.
• 直線の, 与えられた直線との角度は, 平行に関する不変量.
• 複素数の絶対値は, 回転に関する不変量.
• 三角形 ABC の最大の角を C としたとき, c^2 - (a^2 + b^2) は合同に関する不変量 （符号だけなら相似に関する不変量） （角 C の鋭角・直角・鈍角が分かる）.

各々の専門分野で登場する不変量

• Q[√-1] の整数環 Z[√-1] の元に対し, ノルムは共役に関する不変量 （元が既約かどうか, 単元かどうかの判定に使える）.
• 単因子論において, 標準形は不変量.
• 結び目に対し, 結び目群は不変量 （結び目がほどける・ほどけないの判定に使える）.
• 楕円曲線に対する, j 不変量.
• 確率変数に対する, 期待値. あるいは分散.
• Hilbert 記号.
• グレブナ基底.
• 結び目の diagram.
• 有向絡み目のジョーンズ多項式.
• PSL(2,R) の元に対して, (tr A)^2（放物型・楕円型・双曲型）.
• 断面曲率.
• 平方剰余.
• ブレイドのトレース写像は, slide 同値に関する不変量.

数学以外で登場する不変量

• 誕生日で, 星座が分かる.
• 生物の染色体の数は, 種に関する不変量.
• 学生の学生番号.
• 動物が変温か恒温かは, 種に関する不変量.
• 場所に対して, 郵便番号.
• 生徒に対して, クラス.
• 人に対して, アルコールパッチテストの結果（飲める体質かどうかが判定できる）.
• パチスロの, 設定とボーナス確率 （設定でボーナス確率が決まるんだそうです）.