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2005年度幾何学 D・多様幾何基礎講義 B の講義を終えて

この講義では, 多様体およびリーマン多様体を扱った（具体的には, 接空間, ベクトル束, リーマン計量, 接続, 曲率など）. 特に双曲平面の場合に, 定義に従って Levi-Civita 接続や断面曲率を計算した.
教科書は特に指定せず, 講義内容をまとめたプリントを配布した. プリントは, 全体の流れが分かりやすいように, 定義と定理が並べられたものである.
初回講義時にアンケートを取り, 参加する学生の学年・専門・予備知識などを書いて貰った. 平均的な回答は「多様体の定義と接空間と接ベクトルは知っているが, 微分形式あたりからは良く知らない」というものであった. ちなみに受講者の大部分は４年生であった（学部生の登録者が 17 名というのは, 全くの想定外だった）.
アンケートの結果を鑑み, この講義の前半 1/3 くらいは, 曲面論および多様体論の復習として, 両者の関係を中心に述べた（例えば, 曲面の直感的な意味での接空間と, 多様体としての接空間が, 自然に同じものと見なせることなど）. この部分は, この講義で扱う必要は特に無いような気もする.
この講義の真ん中の 1/3 くらいで, 多重線型代数（テンソルとか）, ベクトル束, ベクトル場, 微分形式, テンソル場, などについて扱った.
最後の 1/3 くらいで, ようやくリーマン幾何の入門的な内容を講義した.
この講義では, 適当に演習の時間を設けた. その演習問題への解答状況を見て, 受講生の理解度を直に見ることが出来たことは, 田丸にとっては有益であった. 学生にとっては時間が短かったようなので, 普通にレポートにした方が良いかも知れない.
成績は, 中間試験, それを解き直したレポート, 期末レポート, によってつけた.
本来はリー群にも触れたかったのだが, 前半ゆっくりやり過ぎて到達しなかった. その話題に期待して出席していた学生には, 申し訳なかった（しかし, 履修していない学生のリクエストには, どの程度答えれば良いのだろうか・・・）.