解析学 I チェックリスト−級数（その 1）−（2024.6.27 配布）

プリントは http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R6Kai1.html にも置いてあります．

１ {a_{n}} を数列とするとき，次の各問に答えよ．

(1) 「級数 ∑_{n=1}^{∞} a_{n} が収束する」ことの定義を述べよ．またそのとき，級数 ∑_{n=1}^{∞} a_{n} の和はどう定義されるか．

(2) 「級数 ∑_{n=1}^{∞} a_{n} が絶対収束する」ことの定義を述べよ．

(3) 「級数 ∑_{n=1}^{∞} a_{n} が条件収束する」ことの定義を述べよ．

(4) 級数 ∑_{n=1}^{∞} r^{n} が収束するような実数 r の範囲を求めよ．

(5) 級数 ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} が収束するような実数 s の範囲を求めよ．

２ {a_{n}}, {b_{n}} を数列とする．次の各命題の真偽を判定し，その理由を述べよ．（裏面に各

命題の真偽についてのみ解答を掲載しました．理由が分からないという方は質問して下さい．）

(1) ∑_{n=1}^{∞} a_{n} が正項級数であるならば， ∑_{n=1}^{∞} a_{n} は収束するか ∑_{n=1}^{∞} a_{n} = ∞ であるかのどちらかである．

(2) ∑_{n=1}^{∞} a_{n} が収束するならば lim_{n→∞} a_{n} = 0 である．

(3) lim_{n→∞} a_{n} = 0 ならば ∑_{n=1}^{∞} a_{n} は収束する．

(4) 絶対収束する級数は，必ず収束する．

(5) ∑_{n=1}^{∞} a_{n}, ∑_{n=1}^{∞} b_{n} が収束し，かつ a_{n} ≤ b_{n} (∀n ∈ ℕ) であるならば ∑_{n=1}^{∞} a_{n} ≤ ∑_{n=1}^{∞} b_{n} である．

(6) ∑_{n=1}^{∞} a_{n}, ∑_{n=1}^{∞} b_{n} が収束し，かつ a_{n} < b_{n} (∀n ∈ ℕ) であるならば ∑_{n=1}^{∞} a_{n} < ∑_{n=1}^{∞} b_{n} である．

(7) ∑_{n=1}^{∞} a_{n} が絶対収束し，かつ a_{n} ≠ 0 (∀n ∈ ℕ) ならば lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | < 1 である．

(8) 任意の n ∈ ℕ に対して|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | < 1 が成り立つならば ∑_{n=1}^{∞} a_{n} は収束する．

(9) ∑_{n=1}^{∞} a_{n} が絶対収束するならば， ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{2} も絶対収束する．

(10) ∑_{n=1}^{∞} a_{n} が絶対収束するならば， ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}|^{\frac{1}{2}} も絶対収束する．

(11) ∑_{n=1}^{∞} a_{n}, ∑_{n=1}^{∞} b_{n} を正項級数とする． ∑_{n=1}^{∞} a_{n} が収束し，かつ数列 \{\frac{b_{n}}{a_{n}} \} が収束するなら

ば ∑_{n=1}^{∞} b_{n} も収束する．

２ (1) 真 (2) 真 (3) 偽 (4) 真 (5) 真 (6) 真 (7) 偽 (8) 偽 (9) 真 (10) 偽 (11) 真