解析学 I チェックリスト−実数の連続性−（2024.6.13 配布）

プリントは http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R6Kai1.html にも置いてあります．

１ A を空でない ℝ の部分集合とする．次の各概念の正確な定義を，論理記号を用い

て述べよ．（解答は教科書や各自のノートで確かめよ）

(1) a ∈ ℝ が A の上界である．

(2) a ∈ ℝ が A の下界である．

(3) A が上に有界である．

(4) A が下に有界である．

(5) A が有界である．

(6) m ∈ ℝ が A の最大値である．

(7) m ∈ ℝ が A の最小値である．

(8) m ∈ ℝ が A の上限である．

(9) m ∈ ℝ が A の下限である．

２次の性質がどういうものであるか説明せよ．

(1) 実数の連続性 (2) アルキメデス性 (3) 有理数の稠密性

３ A, B を空でない ℝ の部分集合とする．次の各命題の真偽を判定し，その理由を述

べよ．（裏面に各命題の真偽についてのみ解答を掲載しました．理由が分からないという方は質問して下さい．）

(1) A には必ず上限 sup A が存在する．

(2) A の上限 sup A が存在するとき， A は必ず上に有界である．

(3) A の上限 sup A が存在するとき， sup A は必ず A の元である．

(4) A の上限 sup A が存在するとき， sup A は必ず A の上界である

(5) sup A も max A も存在するが， sup A ≠ max A を満たす集合 A が存在する．

(6) inf A も sup A も存在するとき， inf A ≤ sup A が必ず成り立つ．

(7) inf A も sup A も存在するとき， inf A < sup A が必ず成り立つ．

(8) A の上界全体の集合と， A の下界全体の集合が一致することはない．

(9) 任意の x ∈ A に対して x < 0 であると仮定する．このとき sup A < 0 である．

(10) A, B を上に有界な集合とする． A ⊂ B ならば， sup A ≤ sup B である．

(11) A, B を上に有界な集合とする． A ⊂ B かつ A ≠ B ならば， sup A < sup B である．

(12) A の任意の元が有理数であるとする．もし sup A が存在するならば， sup A も有理数である．

(13) A ⊂ ℕ であるならば， inf A が存在する．

３ (1) 偽 (2) 真 (3) 偽 (4) 真 (5) 偽 (6) 真 (7) 偽 (8) 偽 (9) 偽 (10) 真 (11) 偽 (12) 偽 (13) 真