数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 補足プリント No.7 （2024.5.21 配布）

 プリントは http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R6SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

\underline{● ℓ^{1} が反射的でないことの証明}

(ℓ^{1})^{∗∗} ≅ ℓ̸^{1} であることを示す． (ℓ^{1})^{∗} ≅ ℓ^{∞} であるから， (ℓ^{∞})^{∗} ≅ ℓ̸^{1} であることを示せばよい． (ℓ^{∞})^{∗} ≅ ℓ^{1} であるとは

∀φ ∈ (ℓ^{∞})^{∗}, ∃y = (y_{n})_{n=1}^{∞} ∈ ℓ^{1} s.t. φ(x) = ∑_{n=1}^{∞} x_{n}y_{n} (∀x = (x_{n})_{n=1}^{∞} ∈ ℓ^{∞})

ということであるから，その否定を示す．

これから，ある ℓ^{∞} 上の有界線形汎関数を構成するのだが，まずは

X = ℓ_{ℝ}^{∞} = {(x_{n}) ∈ ℓ^{∞} | (x_{n}) は有界実数列}

とおく（注： ℓ^{∞} は有界な\underline{複素数列}全体の集合です．一方 ℓ_{ℝ}^{∞} は有界な\underline{実数列}全体の集合）と， X は実 Banach 空間である．その部分空間 Y と， ℝ-線形写像 φ_{0} : Y → ℝ を

Y = \{(x_{n}) ∈ X | lim_{n→∞} \frac{x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}}{n} が存在\} ,
φ_{0}(x) = lim_{n→∞} \frac{x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}}{n} (x = (x_{n}) ∈ Y)

と定める．次に， p : X → ℝ を次で定義する：

p(x) = lim sup_{n→∞} x_{n} (x = (x_{n}) ∈ X).

すると， p は

p(cx) = p(x), p(x + y) ≤ p(x) + p(y) (∀x, y ∈ X, ∀c > 0)

を満たすことが（上極限の定義を用いれば）わかる^{1}．また，任意の x ∈ Y に対して

φ_{0}(x) = lim_{n→∞} \frac{x_{1} + ⋯ + x_{n}}{n} ≤ lim sup_{n→∞} x_{n} = p(x)

が成り立つ^{2}．従って， ℝ-線形空間の場合の Hahn-Banach の定理より，ある ℝ-線形写像 φ : X → ℝ で， φ_{0} の拡張になっていて，かつ φ(x) ≤ p(x) = lim sup_{n→∞} x_{n} (∀x = (x_{n}) ∈ X) が成り立つものが存在する．

このとき，任意の x ∈ X に対し， −φ(x) = φ(−x) ≤ lim sup_{n→∞}(−x_{n}) = − lim inf_{n→∞} x_{n} であるから

inf_{n∈ℕ} x_{n} ≤ lim inf_{n→∞} x_{n} ≤ φ(x) ≤ lim sup_{n→∞} x_{n} ≤ sup_{n∈ℕ} x_{n}

がわかる．これは |φ(x)| ≤ ∥x∥_{∞} を意味するので， φ は X = ℓ_{ℝ}^{∞} 上の有界線形汎関数である．

1p はノルムの性質は満たしません．実際， p は負の値も取り得ます．

2問：なぜでしょうか？

さて， ℓ^{∞} 上の有界線形汎関数を作るのだったが，任意の ℓ^{∞} の元を実部と虚部に分けて上のような線形写像を考えれば， ℓ^{∞} 上の有界線形汎関数が構成できる．これを改めて φ (∈ (ℓ^{∞})^{∗}) とおく． φ は次の四つの条件を満たす^{3}．

(i) φ は ℂ-線形．即ち， φ(αx + βy) = αφ(x) + βφ(y) (∀α, β ∈ ℂ, ∀x, y ∈ ℓ^{∞}).

(ii) x = (x_{n}) ∈ ℓ^{∞} が x_{n} ≥ 0 (∀n ∈ ℕ) を満たせば φ(x) ≥ 0．

(iii) φ(x) = φ(Sx) (∀x ∈ ℓ^{∞})．ただし， (Sx)_{n} = x_{n+1} (shift operator).

(iv) x = (x_{n}) ∈ ℓ^{∞} が収束数列ならば， φ(x) = lim_{n→∞} x_{n}．

(iii) のみ証明する． y = x − Sx = (x_{1} − x_{2}, x_{2} − x_{3}, …, x_{n} − x_{n+1}, …) とおくと，

|\frac{y_{1} + ⋯ + y_{n}}{n} | = |\frac{(x_{1} − x_{2}) + (x_{2} − x_{3}) + ⋯ + (x_{n} − x_{n+1})}{n}|

= |\frac{x_{1} − x_{n+1}}{n} | ≤ \frac{2∥x∥_{∞}}{n} → 0 (n → ∞)

であるから， y ∈ Y ．従って φ_{0} の定義より φ(y) = φ_{0}(y) = 0 である．故に φ(x) = φ(Sx) である．

いま， ∃y = (y_{n}) ∈ ℓ^{1} s.t. φ(y) = ∑_{n=1}^{∞} x_{n}y_{n} (∀x = (x_{n}) ∈ X) であると仮定する．特に

x = (1, 0, 0, …) とおくと φ(x) = y_{1}．一方， φ(x) = φ(Sx) = φ((0, 1, 0, …)) = y_{2}．以下同様にして y_{1} = y_{2} = ⋯ = y_{n} = ⋯ が得られる．

ところが， y ∈ ℓ^{1} であるから y_{1} = y_{2} = ⋯ = y_{n} = ⋯ = 0，即ち y = 0 を意味するが， φ ≠ 0 であったからこれは矛盾．従って (ℓ^{∞})^{∗} ≅ ℓ̸^{1} である． □

3この四つの条件を満たす ℓ^{∞} から ℂ への写像（または ℓ_{ℝ}^{∞} から ℝ への写像）を Banach 極限と呼びます．これは通常の極限の一般化と言えるものとなっています．