数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 補足プリント No.6 （2024.5.16 配布）

 プリントは http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R6SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

\underline{● c_{0} の共役空間}

数列空間 c_{0} を

c_{0} = {x = (x_{n})_{n=1}^{∞} ⊂ ℂ | lim_{n→∞} x_{n} = 0}

と定義すると，演習問題 No.5 [32], [33] の結果により， ℓ^{∞} の閉部分空間となります．従って， ℓ^{∞} のノルム（i.e. ∥x∥_{∞} = sup_{n∈ℕ} |x_{n}|）により c_{0} は Banach 空間であることが分かります．

\underline{命題．} ; φ ∈ (c_{0})^{∗} ⟺ ∃y = \{y_{n}\}_{n=1}^{∞} ∈ ℓ^{1} s.t. φ(x) = ∑_{n=1}^{∞} x_{n}y_{n} (∀x = (x_{n})_{n=1}^{∞} ∈ c_{0}) ; さらに， ∥φ∥ = ∥y∥_{1} が成立する．

\underline{注意．}つまり (c_{0})^{∗} ≅ ℓ^{1} が成立します．なお， (ℓ^{∞})^{∗} ≅ ℓ^{1} は成立しません（証明はおそらく次回の補足プリントにて）．また， φ ∈ (c_{0})^{∗} に対して上を満たす y は一意に定まります．

［証明］ (⟸) 有界性は |φ(x)| ≤ ∑_{n=1}^{∞} |x_{n}||y_{n}| ≤ ∥x∥_{∞}∥y∥_{1} より言える．線形性は自明．

これより ∥φ∥ ≤ ∥y∥_{1} が示されるが，先に ∥φ∥ ≥ ∥y∥_{1} を示す．

y_{n} = |y_{n}|e^{iθ_{n}} となる θ_{n} ∈ ℝ を取る．このとき， k ∈ ℕ に対して

x^{(k)} = (e^{−iθ_{1}}, …, e^{−iθ_{k}}, 0, 0, …)

とおくと， x^{(k)} ∈ c_{0} かつ ∥x^{(k)}∥_{∞} = 1 であり，

φ(x^{(k)}) = ∑_{j=1}^{k} e^{−iθ_{j}}y_{j} = ∑_{j=1}^{k} |y_{j}|

が成り立つ．従って，

∥φ∥ = sup_{x∈c_{0}, ∥x∥_{∞}=1} |φ(x)| ≥ |φ(x^{(k)})| = ∑_{j=1}^{k} |y_{j}|.

これが任意の k ∈ ℕ について成立するので， ∥φ∥ ≥ ∑_{j=1}^{∞} |y_{j}| = ∥y∥_{1} を得る．

(⟹) 任意に φ ∈ (c_{0})^{∗} を取る． 5/14 の授業と同様に e_{n} = (0, …, 0, 1, 0, …) ∈ c_{0} （第 n 項のみ 1，その他は 0 である数列）に対し φ(e_{n}) = y_{n} とおく．

x = {x_{n}} ∈ c_{0} に対し， ξ^{(n)} = (x_{1}, …, x_{n}, 0, 0, …) (n ∈ ℕ) とおくと， ξ^{(n)} ∈ c_{0} で

∥x − ξ^{(n)}∥_{∞} = sup_{k≥n+1} |x_{k}| → 0 (n → ∞) (∵ x ∈ c_{0})

であるから， φ の連続性と線形性より

φ(x) = φ ( lim_{n→∞} ξ^{(n)}) = lim_{n→∞} φ(ξ^{(n)}) = lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} x_{k}y_{k} = ∑_{n=1}^{∞} x_{n}y_{n}.

最後に y ∈ ℓ^{1} を示す必要があるが，先程の議論とほぼ同様なので各自に任せる． ■