数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 補足プリント No.5 （2024.5.14 配布）

 プリントは http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R6SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

\underline{● L^{p}(X) の共役空間}

\underline{定理．} (X, B, μ) を σ-finite な測度空間とする．

（即ち， ∃X_{n} ⊂ X (n ∈ ℕ) s.t. μ(X_{n}) < ∞ かつ ⋃_{n=1}^{∞} X_{n} = X）

1 ≤ p < ∞ に対して， L^{p}(X) = L^{p}(X, μ) とおく．このとき，\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 を満たす 1 < q ≤ ∞ に対して，次が成立する：

φ ∈ (L^{p}(X))^{∗} ⟺ ∃g ∈ L^{q}(X) s.t. φ(f) = ∫_{X} f(x)g(x) dμ (∀f ∈ L^{p}(X)).

さらに， ∥φ∥ = ∥g∥_{q} が成立する．

\underline{注意．}つまり (L^{p}(X))^{∗} ≅ L^{q}(X) が成立します．なお， p = ∞ の場合は (L^{∞}(X))^{∗} と L^{1}(X) は同型になりません．また， σ-finiteness という仮定がありますが，例えば X が ℝ^{N} の Lebesgue 可測集合で μ が N 次元 Lebesgue 測度であれば O.K. です．

［証明］ (⟸) g ∈ L^{q}(X) に対して φ を上のように定めると

|φ(f)| ≤ ∫_{X} |f(x)||g(x)| dμ ≤ ∥g∥_{q}∥f∥_{p} （∵ Hölder の不等式）

であり，これは φ ∈ (L^{p}(X))^{∗} であり ∥φ∥ ≤ ∥g∥_{q} を意味する．次に ∥g∥_{q} ≤ ∥φ∥ を示す．

\underline{(i) p = 1 のとき} ∥g∥_{∞} = 0 であれば g = 0 a.e. であるから φ = 0 = ∥g∥_{∞}．

以下， ∥g∥_{∞} > 0 の場合を考える．任意に 0 < ε < ∥g∥_{∞} を取る． A = {x ∈ X | |g(x)| > ∥g∥_{∞} − ε} とおくと， ∥g∥_{∞} の定義より μ(A) > 0 である．

いま， ⋃_{n=1}^{∞}(A∩X_{n}) = A∩ ⋃_{n=1}^{∞} X_{n} = A∩X = A であるから， ∃N ∈ ℕ s.t. μ(A∩X_{N}) > 0 で

ある（さもなくば μ の劣加法性より μ(A) = 0 となる）．ここで， μ(A∩X_{N}) ≤ μ(X_{N}) < ∞ に注意する．

B := A ∩ X_{N} とおく．さらに g(x) = |g(x)|h(x) （ただし |h(x)| = 1）と書いたとき， F := χ_{B} · \overline{h} とおくと， ∥F ∥_{1} = μ(B) < ∞ であるから F ∈ L^{1}(X) であり，

φ(f) = ∫_{X} f(x)g(x) dμ = ∫_{X} χ_{B}(x)\overline{h(x)}|g(x)|h(x) dμ
= ∫_{B} |g(x)| dμ ≥ (∥g∥_{∞} − ε)μ(B) = (∥g∥_{∞} − ε)∥F ∥_{1}.

両辺 ∥F ∥_{1} で割ると

∥g∥_{∞} − ε ≤ \frac{|φ(F)|}{∥F ∥_{1}} ≤ sup_{f≠0} \frac{|φ(f)|}{∥f∥_{1}} = ∥φ∥.

ε → +0 として ∥g∥_{∞} ≤ ∥φ∥ を得る．

\underline{(ii) p ≠ 1 のとき} ∥g∥_{q} = 0 のときは先程と同様に O.K.

以下， ∥g∥_{q} > 0 とする． g(x) = |g(x)|h(x) (|h(x)| = 1) と書いたとき， F := |g|^{q/p} · \overline{h} とおくと，

∥F ∥_{p} = (∫_{X}(|g|^{q/p}|h|)^{p} dμ)^{1/p} = (∥g∥_{q}^{q})^{1/p} = ∥g∥_{q}^{q/p}

である（特に F ∈ L^{p}(X)）．さらに

φ(F) = ∫_{X} |g(x)|^{q/p}\overline{h(x)}|g(x)|h(x) dμ = ∫_{X} |g(x)|^{1+q/p} dμ = ∫_{X} |g(x)|^{q} dμ = ∥g∥_{q}^{q}

であるから，

∥φ∥ = sup_{f≠0} \frac{|φ(f)|}{∥f∥_{p}} ≥ \frac{|φ(F)|}{∥F ∥_{p}} = \frac{∥g∥_{q}^{q}}{∥g∥_{q}^{q/p}} = ∥g∥_{q}

を得る．

逆向きの矢印を証明する前に，測度論において極めて重要な Radon-Nikodym の定理を紹介する．

(X, B, μ) を測度空間とする．集合関数 Φ : B → ℂ が

E_{n} ∈ B (∀n ∈ ℕ) かつ (E_{n}) が互いに素 ⟹ Φ (⋃_{n=1}^{∞} E_{n}) = ∑_{n=1}^{∞} Φ(E_{n}) （絶対収束）

を満たすとき， Φ を X 上の（複素数値）加法的集合関数と呼ぶ．また，集合関数 Φ : B → ℂ が

μ(E) = 0 ⟹ Φ(E) = 0

を満たすとき， Φ は μ に関して絶対連続であるという．

\underline{定理． (Radon-Nikodym)} (X, B, μ) を σ-finite な測度空間とする． Φ : B → ℂ が絶対連続な加法的集合関数であるならば，ある g ∈ L^{1}(X) が存在して

Φ(E) = ∫_{E} g(x) dμ

が成立する．（また， g は μ-零集合上での違いを除いて一意に定まる）

(⟹) 任意に φ ∈ (L^{p}(X))^{∗} を取る．

\underline{1 ◯ μ(X) < ∞ のとき}

E ∈ B に対して χ_{E} ∈ L^{p}(X) である（μ(E) ≤ μ(X) < ∞ に注意）ので， ν(E) = φ(χ_{E}) ∈ ℂ が定義できる．この ν が絶対連続な加法的集合関数であることを示す．

\underline{(i) ν が加法的集合関数であること}

E_{n} ∈ B (n ∈ ℕ) が互いに素であるとする． ∑_{n=1}^{∞} μ(E_{n}) = μ (⋃_{n=1}^{∞} E_{n}) ≤ μ(X) < ∞ で

あることに注意すると， ∑_{n=1}^{∞} χ_{E_{n}} = χ_{⋃_{n=1}^{∞} E_{n}} が L^{p}(X)-ノルムで成立している^{1}． φ の連続性より，

1問 1 ：これを示せ．なお， p = ∞ では成立しないので，ここで 1 ≤ p < ∞ であることを用いている．

ν (⋃_{n=1}^{∞} E_{n}) = φ (χ_{⋃_{n=1}^{∞} E_{n}}) = φ (∑_{n=1}^{∞} χ_{E_{n}}) = ∑_{n=1}^{∞} φ(χ_{E_{n}}) = ∑_{n=1}^{∞} ν(E_{n})

が成立する． \underline{(ii) ν が μ に関して絶対連続であること} μ(E) = 0 と仮定する．すると χ_{E} = 0 a.e. であるから， ν(E) = φ(χ_{E}) = φ(0) = 0．以上より Radon-Nikodym の定理が適用できて，

∃g ∈ L^{1}(X) s.t. φ(χ_{E}) = ν(E) = ∫_{E} g(x) dμ = ∫_{X} χ_{E}(x)g(x) dμ (∀E ∈ B)

が成立する．次に，単関数 f = ∑_{n=1}^{m} a_{n}χ_{E_{n}} を考えると， φ の線形性から

φ(f) = φ (∑_{n=1}^{m} a_{n}χ_{E_{n}}) = ∑_{n=1}^{m} a_{n}φ(χ_{E_{n}})

= ∑_{n=1}^{m} a_{n} ∫_{X} χ_{E_{n}}(x)g(x) dμ

= ∫_{X} (∑_{n=1}^{m} a_{n}χ_{E_{n}}(x)) g(x) dμ = ∫_{X} f(x)g(x) dμ

が成立する。ここで任意の f ∈ L^{∞}(X) に対して f は単関数列で（L^{∞}-ノルムで）近似できるわけだが， μ(X) < ∞ より L^{p}-ノルムでも近似できるので， φ の連続性より

φ(f) = ∫_{X} f(x)g(x) dμ (∀f ∈ L^{∞}(X))

を得る．次にこの g が L^{q}(X) の元であることを示す． \underline{• 1 < p < ∞ のとき（即ち 1 < q < ∞）} n ∈ ℕ に対して

g_{n}(x) := \begin{cases}g(x) & (|g(x)| ≤ n) \\ 0 & (|g(x)| > n) \end{cases}

とおく．さらに， g(x) = |g(x)|h(x) （ただし |h(x)| = 1）と書いたとき， f_{n} = |g_{n}|^{q/p} · \overline{h} とおく．すると g_{n} ∈ L^{∞}(X) より f_{n} ∈ L^{∞}(X) であるから，

φ(f_{n}) = ∫_{X} f_{n}(x)g(x) dμ = ∫_{X} |g_{n}(x)|^{q/p}\overline{h(x)}|g(x)|h(x) dμ = ∫_{X} |g_{n}(x)|^{1+q/p} dμ = ∥g_{n}∥_{q}^{q}.

一方， |φ(f_{n})| ≤ ∥φ∥∥f_{n}∥_{p} = ∥φ∥ (∫_{X} |g_{n}(x)|^{q} dμ)^{1/p} = ∥φ∥∥g_{n}∥_{q}^{q/p} であるので，

∥g_{n}∥_{q}^{q} ≤ ∥φ∥∥g_{n}∥_{q}^{q/p}. ∴ ∥g_{n}∥_{q} ≤ ∥φ∥. （← ∥g_{n}∥_{q} = 0 でも成立）

即ち， ∫_{X} |g_{n}(x)|^{q} dμ ≤ ∥φ∥^{q} であるので，両辺の n → ∞ の極限を取ると，単調収束定理より

∫_{X} |g(x)|^{q} dμ ≤ ∥φ∥^{q}

が得られ， g ∈ L^{q}(X) が示された．

\underline{• p = 1 のとき（即ち q = ∞）}

任意の E ∈ B に対して

|∫_{E} g(x) dμ| = |φ(χ_{E})| ≤ ∥φ∥∥χ_{E}∥_{1} = ∥φ∥μ(E).

従って μ(E) > 0 ならば

|\frac{1}{μ(E)} ∫_{E} g(x) dμ| ≤ ∥φ∥

が成立する．これより |g(x)| ≤ ∥φ∥ a.e. x ∈ X を得る^{2}．故に g ∈ L^{∞}(X)．以上の結果，

∃g ∈ L^{q}(X) s.t. φ(f) = ∫_{X} f(x)g(x) dμ \underline{(∀f ∈ L^{∞}(X))} · · · · · · (∗)

がわかった．ここで，この式の両辺とも L^{p} 上連続な汎関数である（左辺の連続性は φ ∈ (L^{p}(X))^{∗} より，右辺の連続性は (⟸) の議論より）ことと， L^{∞}(X) が L^{p}(X) において稠密であることより， (∗) は\underline{∀f ∈ L^{p}(X)} で成立する^{3}．

\underline{2 ◯ X が σ-finite のとき}

仮定より X = ⋃_{n=1}^{∞} X_{n}, μ(X_{n}) < ∞ (∀n ∈ ℕ), X_{n} ⊂ X_{n+1} (n ∈ ℕ) を満たす X_{n} ∈ B を

取ることができる^{4}． φ ∈ (L^{p}(X))^{∗} は (L^{p}(X_{n}))^{∗} の元ともみなせる．これに 1 ◯の結果を適用すると，

∃g_{n} ∈ L^{p}(X_{n}) s.t. φ(f) = ∫_{X_{n}} f(x)g_{n}(x) dμ (∀f ∈ L^{p}(X_{n}) ⊂ L^{p}(X))

が言える．すると， 1 ◯の問 3 の結果より g_{n+1}(x) = g_{n}(x) (∀x ∈ X_{n}) がわかる．そこで， g(x) = g_{n}(x) (if x ∈ X_{n}) とおけば， g は X 上の可測関数として well-defined である．

次に (⟸) の議論より

∥g_{n}∥_{q} = ∥φ|_{L^{p}(X_{n})}∥ ≤ ∥φ∥ (∀n ∈ ℕ)

である．もし q = ∞ なら ∥g∥_{∞} = sup_{n∈ℕ} ∥g_{n}∥_{∞} ≤ ∥φ∥ であり， 1 < q < ∞ なら 1 ◯のように

単調収束定理を用いて ∥g∥_{q} ≤ ∥φ∥ が示せる．従ってどちらの場合も g ∈ L^{q}(X) である．以上の結果，

∃g ∈ L^{q}(X) s.t. φ(f) = ∫_{X} f(x)g(x) dμ \underline{(∀f ∈ L^{p}(X_{n}))} · · · · · · (∗∗)

が任意の n ∈ ℕ に対して成立することがわかった．最後に， ⋃_{n=1}^{∞} L^{p}(X_{n}) が L^{p}(X) で稠密

である^{5}ことを用いると， (∗∗) は\underline{∀f ∈ L^{p}(X)} で成立することがわかる． □

4問 4 ：なぜか？

2問 2 ：これを示せ．これは測度論の良い演習問題である．

3問 3 ： (∗) を満たす g は（測度 0 の集合上での違いを除いて）一意であることを示せ．

5問 5 ：これを示せ．なお，ここでも p ≠ ∞ であることを用いている．

\underline{● Zorn の補題}

Hahn-Banach の定理を証明するのに必要な，集合論における Zorn の補題を紹介します．これは Zermelo の選択公理と同値であり，ここでも公理として認めることとします．

集合 A において， A の 2 つの要素の間に関係 ≤ が定められており，任意の a, b ∈ A に対して「a ≤ b である」か「a ≤ b でない」のどちらか一方のみが成立しており，さらに，任意の a, b, c ∈ A に対して

(i) a ≤ a （反射律）

(ii) a ≤ b かつ b ≤ a ⟹ a = b （反対称律）

(iii) a ≤ b かつ b ≤ c ⟹ a ≤ c （推移律）

が成り立っているとき，関係 ≤ を A における（半）順序といい， A または (A, ≤) を（半）順序集合という．

A を順序集合とし， A_{0} を A の部分集合とする．任意の a, b ∈ A_{0} に対して，「a ≤ b」または「b ≤ a」が成り立つとき， A_{0} は A の全順序部分集合という．

また， A_{1} を順序集合 A の部分集合とし， a ∈ A に対して，

x ∈ A_{1} ⟹ x ≤ a

が成り立つとき， a は A_{1} の上界であるという．

さらに， a ∈ A に対して，

x ∈ A かつ a ≤ x ⟹ x = a

が成り立つとき， a は A の極大元であるという．

\underline{定理．（Zorn の補題）} ; A を空でない順序集合とする．このとき， A の任意の全順序部分集合が上界をも ; つならば， A には極大元が存在する．