数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 補足プリント No.3 （2024.4.23 配布）

プリントは http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R6SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

\underline{定理．} (X, ∥ · ∥) をノルム空間とする．このとき，次を満たす Banach 空間 (X̃, ∥ · ∥′) と線形写像 i : X → X̃ が存在する．

(i) i は単射であり，かつ任意の u ∈ X に対して ∥i(u)∥′ = ∥u∥. (ii) X の i による像 i(X) は X̃ において稠密である．

しかも， (i), (ii) を満たす Banach 空間 (X̃, ∥ · ∥′) は同型を除いて一意に定まる．

この定理で定まる (X̃, ∥ · ∥′) を (X, ∥ · ∥) の完備化と呼ぶ．

［証明］ (i), (ii) を満たす Banach 空間の存在

X における Cauchy 列 (u_{n}) 全体の集合を X_{0} とおく． X_{0} に (u_{n}) ∼ (v_{n}) ⟺^{def} lim_{n→∞} ∥u_{n} − v_{n}∥ = 0 という同値関係を入れ， X̃ = X_{0}/∼ とおく．

（「∼」が同値関係であることは各自確かめよ）

ũ = [(u_{n})] ∈ X̃ に対し， (u_{n}) ∈ X_{0} が X の Cauchy 列であるので

|∥u_{n}∥ − ∥u_{m}∥| ≤ ∥u_{n} − u_{m}∥ → 0 (n, m → ∞) (∵ 三角不等式)

が成立し (∥u_{n}∥) は ℝ の Cauchy 列であることがわかる．従って lim_{n→∞} ∥u_{n}∥ が存在するの

で，それを ∥ũ∥′ (= ∥[(u_{n})]∥′) と定める．

• ∥ · ∥′ の well-definedness (u_{n}), (v_{n}) ∈ X_{0} が (u_{n}) ∼ (v_{n}) であるとすると，

|∥u_{n}∥ − ∥v_{n}∥| ≤ ∥u_{n} − v_{n}∥ → 0 (n → ∞)

であるから， lim_{n→∞} ∥u_{n}∥− lim_{n→∞} ∥v_{n}∥ = lim_{n→∞}(∥u_{n}∥−∥v_{n}∥) = 0 となり， lim_{n→∞} ∥u_{n}∥ = lim_{n→∞} ∥v_{n}∥

である．

\underline{• ∥ · ∥′ が X̃ のノルムであること} 三角不等式のみ示す． [(u_{n})], [(v_{n})] ∈ X̃ に対し， ∥u_{n} + v_{n}∥ ≤ ∥u_{n}∥ + ∥v_{n}∥ であるから

∥[(u_{n})] + [(v_{n})]∥′ = ∥[(u_{n} + v_{n})]∥′ = lim_{n→∞} ∥u_{n} + v_{n}∥

≤ lim_{n→∞} (∥u_{n}∥ + ∥v_{n}∥)

= lim_{n→∞} ∥u_{n}∥ + lim_{n→∞} ∥v_{n}∥ = ∥[(u_{n})]∥′ + ∥[(v_{n})]∥′.

\underline{• X̃ が ∥ · ∥′ に関して完備であること}

(ṽ_{m}) ⊂ X̃ を ∥·∥′ に関する Cauchy 列であるとする．各 ṽ_{m} を [(v_{mn})] と書く（(v_{mn})_{n=1}^{∞} は X の Cauchy 列）．演習問題 [20] より (ṽ_{m}) のある部分列が収束すればよい．

いま， (ṽ_{m}) が Cauchy 列であることから，部分列をうまく取って（同じ記号 (ṽ_{m}) で表

す） ∥ṽ_{m+1} − ṽ_{m}∥′ < \frac{1}{2^{m}} (∀m ∈ ℕ) とできる．

まず ∥ṽ_{2} − ṽ_{1}∥′ = lim_{n→∞} ∥v_{2n} − v_{1n}∥ < \frac{1}{2} であるから， ∃N_{1} ∈ ℕ s.t. n ≥ N_{1} ⟹

∥v_{2n} − v_{1n}∥ < \frac{1}{2} が成立する．

次に ∥ṽ_{3} − ṽ_{2}∥′ = lim_{n→∞} ∥v_{3n} − v_{2n}∥ < \frac{1}{4} であるから， ∃N_{2} > N_{1} s.t. n ≥ N_{2} ⟹

∥v_{3n} − v_{2n}∥ < \frac{1}{4} が成立する．

以下同様に， ∥ṽ_{m+1} − ṽ_{m}∥′ = lim_{n→∞} ∥v_{m+1,n} − v_{mn}∥ < \frac{1}{2^{m}} であるから， ∃N_{m} > N_{m−1} s.t.

n ≥ N_{m} ⟹ ∥v_{m+1,n} − v_{mn}∥ < \frac{1}{2^{m}} が成立する．

これを模式的に書くと_{…各項ごとの差のノルム < 1/2 ; …各項ごとの差のノルム < 1/4 ; …各項ごとの差のノルム < 1/8 ; …各項ごとの差のノルム < 1/16}

(v_{1n}) = ( v_{11}, v_{12}, v_{13}, v_{14}, v_{15}, v_{16}, v_{17}, v_{18}, v_{19}, . . . . . .)
(v_{2n}) = ( v_{21}, v_{22}, v_{23}, v_{24}, v_{25}, v_{26}, v_{27}, v_{28}, v_{29}, . . . . . .)
(v_{3n}) = ( v_{31}, v_{32}, v_{33}, v_{34}, v_{35}, v_{36}, v_{37}, v_{38}, v_{39}, . . . . . .)
(v_{4n}) = ( v_{41}, v_{42}, v_{43}, v_{44}, v_{45}, v_{46}, v_{47}, v_{48}, v_{49}, . . . . . .)
(v_{5n}) = ( v_{51}, v_{52}, v_{53}, v_{54}, v_{55}, v_{56}, v_{57}, v_{58}, v_{59}, . . . . . .)
⋮
(w_{n}) := ( v_{11}, v_{12}, v_{13}, v_{24}, v_{25}, v_{36}, v_{37}, v_{38}, v_{49}, . . . . . .)

○印をつけた元を並べた X の点列を (w_{n}) と定めると， (w_{n}) は X の Cauchy 列となっているので w̃ := [(w_{n})] ∈ X̃ である．

すると， ∀n ∈ ℕ に対して ∥v_{1n} − w_{n}∥ < 1 であるから（なぜか？）， ∥ṽ_{1} − w̃∥′ =

lim_{n→∞} ∥v_{1n} − w_{n}∥ ≤ 1 が得られる．

同様にして， ∥ṽ_{2}−w̃∥′ ≤ \frac{1}{2}, …, ∥ṽ_{m}−w̃∥′ ≤ \frac{1}{2^{m−1}} , … が得られる．従って ∥ṽ_{m}−w̃∥′ → 0

(m → ∞) であるから， w̃ は X̃ における (ṽ_{m}) の極限であることが言えた． \underline{• i : X → X̃ の構成と (i), (ii) のチェック}

u ∈ X に対して， i(u) = [(u, u, u, …)] と定める．

明らかに i : X → X̃ は線形かつ単射であり， u ∈ X に対して ∥i(u)∥′ = ∥u∥ である．任意の ũ = [(u_{n})] ∈ X̃ に対して，点列 (i(u_{m}))_{m=1}^{∞} ⊂ i(X) が ũ に収束することを示す．任意に ε > 0 を取り固定する． (u_{n}) は X の Cauchy 列であるから，ある N ∈ ℕ が存

在して， m, n ≥ N ⟹ ∥u_{m} − u_{n}∥ < ε を満たす．このとき， m ≥ N ならば

∥i(u_{m}) − ũ∥′ = lim_{n→∞} ∥u_{m} − u_{n}∥ ≤ ε

を満たすので， lim_{m→∞} i(u_{m}) = ũ であることが証明された．

(i), (ii) を満たす Banach 空間が同型を除いて一意であること (i), (ii) を満たす Banach 空間と線形写像の組 ((X̃, ∥ · ∥′), i) と ((X^{∗}, ∥ · ∥^{∗}), i^{∗}) があっ

たとする．このとき， f : X̃ → X^{∗} を次のように定義する．

任意に ũ ∈ X̃ を取ると， (ii) より ũ = lim_{n→∞} i(u_{n}) を満たす X の点列 (u_{n}) が存在する．このとき， (i) より

∥i^{∗}(u_{n}) − i^{∗}(u_{m})∥^{∗} = ∥i^{∗}(u_{n} − u_{m})∥^{∗} = ∥u_{n} − u_{m}∥
= ∥i(u_{n} − u_{m})∥′ = ∥i(u_{n}) − i(u_{m})∥′ → 0 (n, m → ∞)

が成立する．即ち (i^{∗}(u_{n})) は X^{∗} の Cauchy 列となるので，完備性から lim_{n→∞} i^{∗}(u_{n}) =: u^{∗} ∈ X^{∗} が存在する．そこで f(ũ) = u^{∗} によって写像 f : X̃ → X^{∗} を定める．

この f が well-defined であること，線形同型であること， i^{∗} = f ∘ i と ∥ũ∥′ = ∥f(ũ)∥^{∗} (∀ũ ∈ X̃) が成立することの証明は各自に任せる．