数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 補足プリント No.2 （2024.4.11 配布）

プリントは http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R6SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

Lebesgue 積分に現れる単調収束定理， Lebesgue の収束定理と裏面にある Fubini の定理は大変重要ですので理解しておいてください（はじめの二つの定理は次回の講義で用い

る予定です）．

\underline{定理．（単調収束定理）} Ω ⊂ ℝ^{N} を可測集合， (f_{n}) を Ω 上の可測関数列， f を Ω 上の可測関数とする．いま，

(i) 任意の n ∈ ℕ に対し 0 ≤ f_{n}(x) ≤ f_{n+1}(x) a.e. x ∈ Ω， (ii) lim_{n→∞} f_{n}(x) = f(x) a.e. x ∈ Ω

が成り立つと仮定する．このとき

lim_{n→∞} ∫_{Ω} f_{n}(x) dx = ∫_{Ω} f(x) dx

が成立する．（f_{n} が非負値であることが重要！）

定理．（Lebesgue の収束定理） Ω ⊂ ℝ^{N} を可測集合， (f_{n}) を Ω 上の可測関数列， f を Ω 上の可測関数とする．いま，

(i) lim_{n→∞} f_{n}(x) = f(x) a.e. x ∈ Ω，

(ii) ある可積分関数 h が存在して，各 n ∈ ℕ に対して |f_{n}(x)| ≤ h(x) a.e. x ∈ Ω が成り立つと仮定する．このとき

lim_{n→∞} ∫_{Ω} f_{n}(x) dx = ∫_{Ω} f(x) dx

が成立する．（f_{n} が\underline{n に依らない}可積分関数 h で押さえられることが重要！）

その他，この講義で必要な性質をいくつか列挙します．無論，これで全てというわけではありません．

\underline{定義．}ℝ^{N} 上の Lebesgue 測度を m と書くことにする． Ω ⊂ ℝ^{N} を可測集合とし， Ω 上の可測関数 f, g に対して

∃C ⊂ ℝ^{N} s.t. m(C) = 0 かつ f(x) = g(x) (∀x ∈ Ω \ C)

が成立するとき， f と g は Ω 上ほとんどいたるところ等しいといい，「f = g a.e.」または「f(x) = g(x) a.e. x ∈ Ω」と表す．

\underline{命題 A．} Ω ⊂ ℝ^{N} を可測集合， f, g を Ω 上の可測関数とする． (1) f が Ω 上で可積分（i.e. ∫_{Ω} |f(x)| dx < ∞）かつ f(x) = g(x) a.e. x ∈ Ω ならば， g も Ω 上

で可積分であり ∫_{Ω} f(x) dx = ∫_{Ω} g(x) dx が成立する．

(2) ∫_{Ω} |f(x)| dx = 0 ⟺^{同値} f(x) = 0 a.e. x ∈ Ω．

(3) f が Ω 上で可積分ならば |f(x)| < ∞ a.e. x ∈ Ω．

(4) g が Ω 上の非負値可積分関数かつ |f(x)| ≤ g(x) a.e. x ∈ Ω ならば， f も Ω 上で可積分．

\underline{定理 B．} A ⊂ ℝ^{N} を (Lebesgue) 可測集合とする．このとき，任意の ε > 0 に対して，ある閉集合 F とある開集合 G が存在して F ⊂ A ⊂ G かつ m(G \ F) < ε が成立する．また， m(A) < ∞ であれば F として有界閉集合を取ることができる． \underline{定理（Fubini の定理）．} Ω_{1} ⊂ ℝ^{N_{1}}, Ω_{2} ⊂ ℝ^{N_{2}} を可測集合とする． (I) f = f(x, y) が Ω_{1} × Ω_{2} 上の非負値可測関数ならば，次の (1)-(3) が成立する．

(1) x ∈ Ω_{1} を固定するごとに y ↦ f(x, y) は Ω_{2} 上可測であり，さらに x ↦ ∫_{Ω_{2}} f(x, y) dy は Ω_{1} 上可測．

(2) y ∈ Ω_{2} を固定するごとに x ↦ f(x, y) は Ω_{1} 上可測であり，さらに y ↦ ∫_{Ω_{1}} f(x, y) dx は Ω_{2} 上可測．

(3) ∫_{Ω_{1}×Ω_{2}} f(x, y) dxdy = ∫_{Ω_{1}} (∫_{Ω_{2}} f(x, y) dy) dx = ∫_{Ω_{2}} (∫_{Ω_{1}} f(x, y) dx) dy.

（即ち，\underline{被積分関数が非負値ならば自由に積分の順序は交換して良い！} ←ただし「∞ = ∞」を許す）

(II) f = f(x, y) が Ω_{1} × Ω_{2} 上の可積分関数ならば，次の (1)-(3) が成立する．

(1) x ∈ Ω_{1} を固定するごとに y ↦ f(x, y) は Ω_{2} 上可測であり，さらに a.e. x ∈ Ω_{1} に対し y ↦ f(x, y) は Ω_{2} 上可積分．このとき

g(x) = \begin{cases}∫_{Ω_{2}} f(x, y) dy & （y ↦ f(x, y) は Ω_{2} 上可積分） \\ 0 & （それ以外） \end{cases}

とおけば， g は Ω_{1} 上可積分．

(2) y ∈ Ω_{2} を固定するごとに x ↦ f(x, y) は Ω_{1} 上可測であり，さらに a.e. y ∈ Ω_{2} に対し x ↦ f(x, y) は Ω_{1} 上可積分．このとき

h(y) = \begin{cases}∫_{Ω_{1}} f(x, y) dx & （x ↦ f(x, y) は Ω_{1} 上可積分） \\ 0 & （それ以外） \end{cases}

とおけば， h は Ω_{2} 上可積分．

(3) ∫_{Ω_{1}×Ω_{2}} f(x, y) dxdy = ∫_{Ω_{1}} g(x) dx = ∫_{Ω_{2}} h(y) dy.

\underline{注意．}ほとんどいたるところ一致する関数を同一視すれば， (3) は ∫_{Ω_{1}×Ω_{2}} f(x, y) dxdy = ∫_{Ω_{1}} (∫_{Ω_{2}} f(x, y) dy) dx = ∫_{Ω_{2}} (∫_{Ω_{1}} f(x, y) dx) dy と書くことができる．（即ち，\underline{被積分関数が直積測度に関して可積分ならば，積分の順序は交換して良い！}）