数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 補足プリント No.1 （2024.4.9 配布）

プリントは http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R6SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

\underline{定義．（線形空間）} 𝕂 を体（通常は ℝ または ℂ）， X を集合とする．

任意の 2 元 u, v ∈ X に対して u+v ∈ X が，また任意の元 u ∈ X と任意の α ∈ 𝕂 に対して αu ∈ X が定義されていて，次の条件が満たされているとき， X は 𝕂 上の\underline{線形空間} であるという．（以下， u, v, w ∈ X, α, β ∈ 𝕂 は任意）

(1) （加法の結合則） (u + v) + w = u + (v + w).

(2) （加法の交換則） u + v = v + u.

(3) （零元の存在） ∃θ ∈ X s.t. ∀u ∈ X, u + θ = u.

(4) （加法の逆元の存在） ∀u ∈ X, ∃u′ ∈ X s.t. u + u′ = θ. （以下， u′ を −u と書く） (5) （分配則） α(u + v) = αu + αv, (α + β)u = αu + βu.

(6) （スカラー積の結合則） (αβ)u = α(βu).

(7) （𝕂 の単位元とのスカラー積） 1u = u.

\underline{注意．}

(i) (3) を満たす θ はただ一つしか存在しない．以下， θ を 0 と書き， X の\underline{零元}という^{1}． (ii) u ∈ X に対して， (4) を満たす u′ もただ一つしか存在しない．以下， u′ を −u と書く．

（(i),(ii) の証明は演習問題 [1](1),(2)）

講義でも述べますが，\underline{以下では何の断りもなければ 𝕂 = ℂ とします}．

\underline{定義．（部分空間）} X を線形空間， M を X の空でない部分集合とする． M が X の\underline{（線形）部分空間}

⟺^{def} \begin{cases}(i) & u, v ∈ M ⟹ u + v ∈ M. \\ (ii) & u ∈ M, α ∈ ℂ ⟹ αu ∈ M. \end{cases}

⟺^{同値}「u, v ∈ M, α, β ∈ ℂ ⟹ αu + βv ∈ M.」

\underline{定義．} (X, ∥ · ∥) をノルム空間とする． • u_{0} ∈ X, ε > 0 に対し， B(u_{0}, ε) := \{u ∈ X | ∥u − u_{0}∥ < ε\}. （u_{0} の\underline{ε-近傍}）

• G ⊂ X が\underline{開集合} ⟺^{def} ∀u ∈ X, ∃ε > 0 s.t. B(u, ε) ⊂ G

⟺^{同値}「∀u ∈ X, ∃ε > 0 s.t. ∥v − u∥ < ε ⟹ v ∈ G.」

• X_{0} ⊂ X に対し， u ∈ X が X_{0} の\underline{集積点}

⟺^{def} ∃(u_{n})_{n=1}^{∞} ⊂ X_{0} s.t. u_{n} ≠ u (∀n ∈ ℕ) かつ lim_{n→∞} u_{n} = u.

• X_{0} および X_{0} の集積点全体からなる集合を X_{0} の\underline{閉包}とよび，\overline{X_{0}} とかく．

• E ⊂ X が\underline{閉集合} ⟺^{def} E の補集合 E^{c} が開集合

⟺^{同値} E = \overline{E}

⟺^{同値}「(u_{n})_{n=1}^{∞} ⊂ E かつ lim_{n→∞} u_{n} = u ⟹ u ∈ E.」

• X_{0} が X において\underline{稠密} ⟺^{def} \overline{X_{0}} = X

⟺^{同値} ∀u ∈ X, ∀ε > 0, ∃u_{0} ∈ X_{0} s.t. ∥u_{0} − u∥ < ε.

• X が稠密な可算部分集合をもつとき， X は\underline{可分}であるという．

1X の零元 0 と数 0 とは本来別のものですが，同じ記号 0 で表すことにします．混乱のなきよう．