数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.9 （2024.5.9 出題）

 演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R6SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを期末試験で出題するかもしれません．

◆ Ω_{1} ⊂ ℝ^{M}, Ω_{2} ⊂ ℝ^{N} を可測集合， k(x, y) を Ω_{1} × Ω_{2} 上の複素数値可測関数とし， Ω_{2} 上の可測関数 u に対して

(Ku)(x) = ∫_{Ω_{2}} k(x, y)u(y) dy, x ∈ Ω_{1}

で Ku : Ω_{1} → ℂ を定義する．（[58]， [59]）

[58] x, y に無関係な正定数 M_{1}, M_{2} によって

∫_{Ω_{2}} |k(x, y)| dy ≤ M_{1} (∀x ∈ Ω_{1}), ∫_{Ω_{1}} |k(x, y)| dx ≤ M_{2} (∀y ∈ Ω_{2})

が成立していると仮定する．このとき，任意の p ∈ [1, ∞] に対して K ∈ B(L^{p}(Ω_{2}), L^{p}(Ω_{1})) であり，作用素ノルムは ∥K∥ ≤ M_{1}^{1−1/p}M_{2}^{1/p} を満たすことを示せ．

[59] (1) k(x, y) が C = ∫_{Ω_{1}×Ω_{2}} |k(x, y)|^{2} dxdy < ∞ を満たすならば， K ∈ B(L^{2}(Ω_{2}), L^{2}(Ω_{1}))

であり，作用素ノルムは ∥K∥ ≤ \sqrt{C} を満たすことを示せ．（このような k(x, y) を Hilbert-Schmidt 型の核， K を Hilbert-Schmidt 型積分作用素と呼びます）

(2) Ω_{1}, Ω_{2} をともに ℝ^{N} の単位球 B(0, 1) とする．このとき，正数 λ に対して

(Ku)(x) = ∫_{B(0,1)} \frac{u(y)}{|x − y|^{λ}} dy, x ∈ B(0, 1)

と定義する．このとき， K が L^{2}(B(0, 1)) 上の Hilbert-Schmidt 型積分作用素となる λ の範囲を求めよ．

[60] X, Y を Banach 空間とし， (T_{n})_{n=1}^{∞} ⊂ B(X, Y) とする．いま，各 u ∈ X に対し， (T_{n}u)_{n=1}^{∞} が収束すると仮定する．このとき，極限を T u と書くと写像 T : X → Y が定義できる．

(1) T は線形写像であることを示せ．

(2) 一様有界性原理を用いて T ∈ B(X, Y) を示し，さらに ∥T ∥ ≤ lim inf_{n→∞} ∥T_{n}∥ を示せ．

[61] X, Y を Banach 空間とし， (T_{n})_{n=1}^{∞} ⊂ B(X, Y) とする．いま，次の二つの条件を満たすと仮定する．

(i) ある正数 C > 0 が存在して，任意の n ∈ ℕ に対して ∥T_{n}∥ ≤ C．

(ii) X で稠密な集合 D が存在して，任意の u ∈ D に対して (T_{n}u)_{n=1}^{∞} は収束する．このとき，実は任意の u ∈ X に対し， (T_{n}u)_{n=1}^{∞} が収束することを示せ．（すると， [60] の結果から T u := lim_{n→∞} T_{n}u と定めると T ∈ B(X, Y) かつ ∥T ∥ ≤ lim inf_{n→∞} ∥T_{n}∥ がわかる．）

（裏面に続く） [62] 一様有界性原理は，定義域 X が Banach 空間でなく単にノルム空間のときには成り立たないことを見よう．

複素係数の多項式全体の集合を P とし， P のノルムとして演習問題 No.1 [8] の問題文にある ||| · ||| を考える．

(1) (P, ||| · |||) は完備ではないことを示せ．

(2) n ∈ ℕ に対し， T_{n} : P → ℂ を次のように定義する： f(x) = a_{0} + a_{1}x + ⋯ + a_{k}x^{k} に

対して T_{n}f = ∑_{j=0}^{n} a_{j}．ただし， n > k のときは， a_{k+1} = ⋯ = a_{n} = 0 とする．

(i) 各 n ∈ ℕ に対し， T_{n} ∈ B(P, ℂ) であることを示せ．

(ii) f ∈ P を固定すると sup_{n∈ℕ} |T_{n}f| < ∞ であることを示せ．

(iii) 任意の n ∈ ℕ に対し， ∥T_{n}∥ ≥ n であることを示せ．（従って sup_{n∈ℕ} ∥T_{n}∥ = ∞）

[63] X, Y, Z を Banach 空間とする．写像 T : X × Y → Z は次を満たすと仮定する．

• 各 u ∈ X に対し， φ_{u}(v) = T (u, v) で φ_{u} を定義すると φ_{u} ∈ B(Y, Z)．

• 各 v ∈ Y に対し， ψ_{v}(u) = T (u, v) で ψ_{v} を定義すると ψ_{v} ∈ B(X, Z)．

このとき， T は X × Y 上で連続であることを示せ．

[64] X を Banach 空間とし， Y, Z を X の閉部分空間とする．いま，任意の u ∈ X が u = v_{1} + v_{2} （ただし v_{1} ∈ Y, v_{2} ∈ Z）という形に一意的に表せるものと仮定する．このとき，写像 T : X → Y を T u = v_{1} で定義すると， T ∈ B(X, Y) であることを示せ^{1}．

[65] X, Y を Banach 空間， X_{0} を X の稠密な線形部分空間とする．いま，線形写像 T_{0} : X_{0} → Y が次の条件を満たすと仮定する．

(∗) ∃C > 0 s.t. ∀u ∈ X_{0}, ∥T_{0}(u)∥_{Y} ≤ C∥u∥_{X}.

(1) T_{0} は定義域が X 全体である有界線形作用素 T に一意的に拡張できることを示せ．即ち，次の性質を満たす T ∈ B(X, Y) がただ一つ存在することを示せ：

u ∈ X_{0} ⟹ T_{0}(u) = T (u).

(2) T_{0} が閉作用素であり， (∗) を満たすと仮定する．このとき，実は X_{0} = X であることを示せ．（このとき T_{0} 自身が T_{0} ∈ B(X, Y) を満たしている）

[66] X, Y を Banach 空間とする．線型作用素 T : D(T) → Y が閉作用素である（ただし D(T) は X の部分空間）とき，集合 N(T) = {u ∈ D(T) | T u = 0} は X の閉部分空間であることを示せ．

1X が Hilbert 空間で， Y が X の閉部分空間という状況であればとても簡単な問題ですが（このとき， Z = Y^{⊥} として u ∈ X を v_{1} ∈ Y と v_{2} ∈ Z の和に直交分解すれば， ∥u∥^{2} = ∥v_{1}∥^{2} +∥v_{2}∥^{2} ≥ ∥v_{1}∥^{2} = ∥T u∥^{2} から T の有界性が言える），この問題は X が Banach 空間と仮定していることに注意して下さい．証明には閉グラフ定理を用います．