数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.8 （2024.5.7 出題）

 演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R6SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを期末試験で出題するかもしれません．

[50] X を Banach 空間， T, S ∈ B(X) とする．線形写像 T S : X → X を (T S)u = T (Su) (u ∈ X) で定義し，さらに T^{2}u = T (T u), T^{3}u = T (T (T u)), … と定義する．次を示せ．

(1) T S ∈ B(X) で ∥T S∥ ≤ ∥T ∥∥S∥. (2) T^{n} ∈ B(X) (n ∈ ℕ) で ∥T^{n}∥ ≤ ∥T ∥^{n}.

[51] この問題では，有界な線形作用素および有界でない線形作用素の例を扱う．例えば， I = (a, b) を有界開区間， X = L^{2}(I), Y = L^{1}(I) とし， f ∈ X に対し T f = f と定めると， T ∈ B(X, Y) であり， ∥T ∥ = \sqrt{b − a} となることは演習問題 No.3 [17](2) の結果より分かる^{1}．

(1) X = ℓ^{1}, Y = ℓ^{2} とし， x = (x_{n})_{n=1}^{∞} ∈ X に対し T x = x と定める．このとき， T ∈ B(X, Y) であること，および ∥T ∥ = 1 を示せ^{2}．

(2) I = (0, 1), X = Y = B(I) とおく． X から Y への作用素 T を，定義域が D(T) = B^{1}(I) で， f ∈ D(T) に対し T f = f′ （微分作用素）とおく．このとき，線形作用素 T は有

界ではないことを示せ．（ヒント： f_{n}(x) = sin nπx を考えると……）

(3) I = (0, 1), X = B^{1}(I), Y = B(I) とおく． f ∈ X に対し T f = f′ とおくとき， T ∈ B(X, Y) であることを示し， ∥T ∥ = 1 であることを証明せよ^{3}．

（∥T ∥ ≤ 1 は容易に示せます． ∥T ∥ ≥ 1 であることを示すため，任意の ε > 0 を 1 つ取ったとき， ∥T f∥_{B(I)} ≥ (1 − ε)∥f∥_{B^{1}(I)} を満たす f ∈ B^{1}(I) を見つけてみよう．）

[52] Ω ⊂ ℝ^{N} を Lebesgue 測度が 0 でない可測集合とし， φ ∈ L^{∞}(Ω), p ∈ [1, ∞] とする．このとき， f ∈ L^{p}(Ω) に対し， (T_{φ}f)(x) = f(x)φ(x) とおく．

(1) T_{φ} ∈ B(L^{p}(Ω)) であることを示せ．

(2) T_{φ} ∈ B(L^{p}(Ω)) の作用素ノルムは ∥T_{φ}∥ = ∥φ∥_{∞} であることを示せ．

(3) ∥f∥_{p} = 1 かつ ∥T_{φ}f∥_{p} = ∥φ∥_{∞} を満たす f ∈ L^{p}(Ω) が存在するための φ に関する必要十分条件を求めよ．

[53] (α_{n})_{n=1}^{∞} を複素数列とし， X = ℓ^{2} とおく． x = (x_{n})_{n=1}^{∞} ∈ X に対し T x := (α_{n}x_{n})_{n=1}^{∞} と定める．

(1) (α_{n}) ∈ ℓ^{∞} であるとき， T ∈ B(X) であることを示し， ∥T ∥ を求めよ．

(2) T ∈ B(X) であるための，数列 (α_{n}) に関する必要十分条件を求めよ．

（裏面に続く） [54] X, Y を Banach 空間， T : X → Y を線形写像とする．いま， X, Y が有限次元かつ D(T) = X であるならば，実は T ∈ B(X, Y) であることを示せ．

1恒等写像 f ↦^{T} f により L^{2}(I) が L^{1}(I) の中に埋め込まれていることが分かります． T を埋め込み作用素と呼びます．因みに， [17](2) の答えは\sqrt{b − a} です．

2演習問題 No.4 [28](1) によって ℓ^{1} ⊂ ℓ^{2} が示されていますので，線形作用素 T は well-defined です．

3(2) と (3) の結果の違いについてよく吟味して下さい．

[55] 次の条件をすべて満たす Banach 空間 X と線形作用素の列 (T_{n})_{n=1}^{∞} の例を挙げよ．

(i) X は無限次元 Banach 空間． (ii) 任意の n ∈ ℕ に対して T_{n} ∈ B(X)． (iii) 任意の u ∈ X に対して lim_{n→∞} ∥T_{n}u − u∥ = 0． (iv) 任意の n ∈ ℕ に対して ∥T_{n} − I∥ = 1．ただし I は X 上の恒等作用素である．

[56] X を無限次元 Banach 空間とするとき，次の条件を満たす点列 (u_{n})_{n=1}^{∞} は存在しないことを示せ．（ヒント： Baire の category 定理）

条件： X の任意の元は， (u_{n})_{n=1}^{∞} のうちの有限個の元の 1 次結合で表せる．

[57] n ∈ ℕ に対して，次の条件を満たす関数 f ∈ C([0, 1]) 全体の集合を X_{n} とおく．

{条件：ある x ∈ [0, 1] が存在して，任意の y ∈ [0, 1] に対して \atop |f(x) − f(y)| ≤ n|x − y| が成り立つ．}

(1) X_{n} は Banach 空間 C([0, 1]) の閉部分集合であることを示せ．

(2) X_{n} は内点をもたないことを示せ．

(3) 上の (1), (2) と Baire の category 定理からわかることを述べよ．