数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.7 （2024.5.2 出題）

 演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R6SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題（一部はレポート問題）ですが，演習問題のいくつかを期末試験で出題するかもしれません．

[45] (1) L^{2}(0, 2π) において， (\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{inx})_{n∈ℤ} が正規直交系であることを示せ．

（実は完全正規直交系なのですが，それを講義で示すかどうかは後日決めます）

(2) n ∈ ℕ に対し，数列 a^{(n)} を a^{(n)} = (0, 0, …, 0, 1, 0, …) （第 n 項のみ 1，他の項はすべて 0）と定める．このとき， (a^{(n)})_{n=1}^{∞} は ℓ^{2} の完全正規直交系であることを示せ．

（講義で述べた 5 条件のうち，どれを確かめるのがカンタンでしょうか？）

[46] L^{2}(−1, 1) において， f_{0}(x) = 1, f_{1}(x) = x, f_{2}(x) = x^{2}, f_{3}(x) = x^{3}, … に Schmidt の直交化を行って正規直交系の最初の 4 つ ϕ_{0}(x), ϕ_{1}(x), ϕ_{2}(x), ϕ_{3}(x) を計算せよ^{1}．

[47] (0, ∞) 上の可測関数 f で ∫_{0}^{∞} |f(x)|^{2}e^{−x} dx < ∞ を満たすもの全体の集合を H とおき， f, g ∈ H に対して (f, g) = ∫_{0}^{∞} f(x)\overline{g(x)}e^{−x} dx と定める．

(1) (·, ·) は H 上の内積であることを示せ．

(2) f_{0}(x) = 1, f_{1}(x) = x, f_{2}(x) = x^{2}, f_{3}(x) = x^{3}, … に Schmidt の直交化を行って正規直交系の最初の四つ ψ_{0}(x), ψ_{1}(x), ψ_{2}(x), ψ_{3}(x) を計算せよ^{2}．

（裏に続く） [48] L^{2}(0, 1) の元 r_{n} = r_{n}(x) (n ∈ ℕ) を次のように定める^{3}^{,}^{4} ：

1P_{n}(x) = \sqrt{\frac{2}{2n + 1}} ϕ_{n}(x) は Legendre の多項式と呼ばれ， P_{n}(x) = \frac{1}{2^{n}n!} \frac{d^{n}}{dx^{n}} (x^{2} − 1)^{n} が成立します．余力のある方はこれも証明してみましょう．また関数列 (ϕ_{n}(x))_{n=0}^{∞} は L^{2}(−1, 1) の完全正規直交系となっています．

2H は Hilibert 空間となっており，関数列 (ψ_{n}(x))_{n=0}^{∞} は H の完全正規直交系であることが示されます（証明は伊藤清三「ルベーグ積分入門」（裳華房）等で）．また， L_{n}(x) = (−1)^{n}ψ_{n}(x) は Laguerre の多項式と呼ばれます．

x ∈ (0, 1) に対し， x の二進小数展開を x = 0.a_{1}a_{2} ⋯ a_{n} ⋯_{(2)} とするとき， ; r_{n}(x) = \begin{cases}1 & （a_{n} = 0 のとき） \\ −1 & （a_{n} = 1 のとき） \end{cases} ; と定める．ただし，有限小数の場合は二進小数展開は一意ではない．例えば ; 0.11000 ⋯_{(2)} = 0.10111 ⋯_{(2)} であるが，その場合は常に後者の表し方をする．

さらに， x ∈ (0, 1) に対し r_{0}(x) = 1 と定める． (1) (r_{n})_{n=0,1,2,...} は L^{2}(0, 1) の正規直交系であることを示せ．

(2) (r_{n})_{n=0,1,2,...} のうち任意の有限個を掛けてできる関数族

(r_{n_{1}}r_{n_{2}} ⋯ r_{n_{p}})_{0≤n_{1}<n_{2}<···<n_{p}}

を Φ とおく．このとき， Φ も L^{2}(0, 1) の正規直交系であることを示せ．

(3) m ∈ ℕ に対し，区間 (0, 1) を 2^{m} 等分してできる各小区間上では定数であるような関数全体を M_{m} とおく（M_{m} は L^{2}(0, 1) の部分空間である）．また，関数族

(r_{n_{1}}r_{n_{2}} ⋯ r_{n_{p}})_{0≤n_{1}<n_{2}<···<n_{p}≤m}

を Φ_{m} とおく．このとき， Φ_{m} は M_{m} の完全正規直交系であることを示せ． (4) 関数族 Φ は L^{2}(0, 1) の完全正規直交系であることを示せ．

（ヒント：「Φ = ⋃_{m=1}^{∞} Φ_{m}」「 ⋃_{m=1}^{∞} M_{m} は L^{2}(0, 1) で稠密」の二つを示す）

[49] (X, ∥ · ∥_{X}), (Y, ∥ · ∥_{Y} ) をノルム空間， T : X → Y を D(T) = X を満たす線形写像とする．

(1) sup_{∥u∥_{X}≤1} ∥T u∥_{Y} = sup_{∥u∥_{X}=1} ∥T u∥_{Y} = sup_{u≠0} \frac{∥T u∥_{Y}}{∥u∥_{X}} を示せ．（この式の値を ∥T ∥ と定める）

(2) B(X, Y) = {T | T は X から Y への有界線形作用素，かつ D(T) = X } は (1) で定めた ∥ · ∥ によって（通常の写像の和・スカラー積を演算として）ノルム空間となることを示せ．

x = ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{2^{n}} , a_{n} ∈ \{0, 1\}.

3区間 (0, 1) の任意の元 x は次のように表示することができます．これを二進小数展開と呼び， x = 0.a_{1}a_{2} ⋯ a_{n} ⋯_{(2)} と書きます．

4関数族 (r_{n})_{n=0,1,2,...} は Rademacher の直交関数系と呼ばれます．