数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.6 （2024.4.25 出題）

   演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R6SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを後日レポート問題に指定するかもしれません．

[36] （内積の連続性） H を内積空間とする．点列 (u_{n})_{n=1}^{∞}, (v_{n})_{n=1}^{∞} ⊂ H と元 u, v ∈ H が u_{n} → u, v_{n} → v (n → ∞) を満たすとき， (u_{n}, v_{n}) → (u, v) (n → ∞) が成り立つことを示せ．

[37] H を内積空間とする． u, v ∈ H に対して次を示せ．

(1) （中線定理）∥\frac{u + v}{2} ∥^{2} + ∥\frac{u − v}{2} ∥^{2} = \frac{1}{2} (∥u∥^{2} + ∥v∥^{2}) .

(2) 4(u, v) = ∑_{k=0}^{3} i^{k}∥u + i^{k}v∥^{2}.

[38] (1) 一般のノルム空間では前問 [37](1) の等式は成立しない．例を挙げよ．

（L^{1} や ℓ^{1} などで考えれば良いですが，一番簡単なのは ℂ^{2} でノルムを ∥(z, w)∥ = |z| + |w| としたものでしょうか）

(2) 一般のノルム空間では [37](2) の式で (u, v) を定義しても内積の公理を満たさない．例を挙げよ．

（ここでも ℂ^{2} に ∥(z, w)∥ = |z| + |w| というノルムを入れた空間を考えましょう． u = (1, 0) ∈ ℂ^{2}, v = (1, 1) ∈ ℂ^{2} としたときに (u, v) と (2u, v) を計算すると？）

[39] (H, ∥ · ∥) を\underline{Banach 空間}とし，中線定理（[37](1)）を満たすと仮定する．このとき，写像 (·, ·) : H × H → ℂ を [37](2) のように定めると， (·, ·) は H 上の内積となっていることを示せ．（即ち H は\underline{Hilbert 空間}となる^{1}）

[40] A を内積空間 H の部分集合とする．このとき次を示せ．

(1) A^{⊥} は H の閉部分空間． (2) A ∩ A^{⊥} ⊂ {0}.

（裏に続く） [41] M を Hilbert 空間 H の閉部分空間とする．このとき次を示せ．

1これより， Banach 空間が Hilbert 空間であるための必要十分条件は，ノルムに関して中線定理が成り立つことである，ということがわかります．また，この問題では完備性は用いないので，「Banach 空間」を「ノルム空間」に，「Hilbert 空間」を「内積空間」に変えても成立します．

(1) (M^{⊥})^{⊥} = M. （←下に注意あり^{2}）

(2) 任意の u ∈ H に対し ∥u∥^{2} = ∥P_{M}u∥^{2} + ∥u − P_{M}u∥^{2}. （←これも下に注意あり^{3}）

(3) u ∈ M ⟺ P_{M}u = u ⟺ ∥P_{M}u∥ = ∥u∥.

[42] (1) M, N を Hilbert 空間 H の部分空間で，次を満たすと仮定する． (i) 任意の u_{1} ∈ M と u_{2} ∈ N に対し u_{1} ⊥ u_{2}． (ii) 任意の u ∈ H は u = u_{1} + u_{2} (u_{1} ∈ M, u_{2} ∈ N) と表される．

このとき， M, N は H の閉部分空間であり， N = M^{⊥}, M = N^{⊥} であることを示せ．

(2) H = L^{2}(ℝ) とする． H の部分空間 M, N を

M = {f ∈ H | f(x) = f(−x) a.e. x ∈ ℝ} （即ち偶関数全体） ,
N = {f ∈ H | f(x) = −f(−x) a.e. x ∈ ℝ} （即ち奇関数全体）

とおくと， N = M^{⊥} であり， (P_{M}f) (x) = \frac{f(x) + f(−x)}{2} (f ∈ H) であることを示せ．（ヒント： (1) を用いる）

[43] I を開区間 (−1, 1) とし， H = L^{2}(I) とおく．次の M に対して M^{⊥} と P_{M} を求めよ． (1) M = {f ∈ H | ∃c ∈ ℂ s.t. f(x) = c a.e. x ∈ I}

(2) M = {f ∈ H | ∫_{−1}^{1} xf(x) dx = 0}

[44] M を Hilbert 空間 H の閉部分空間とする．このとき u ∈ H に対して

max_{v∈M, ∥v∥=1} |(u, v)| = ∥P_{M}u∥

が成り立つことを示せ．（ヒント：直交分解）

2 ［注意］ M が単に部分集合のときは不成立です．例えば ℂ^{2} で M = {(1, 0)} として (M^{⊥})^{⊥} を求めてみましょう．なお， M が単に\underline{部分空間}であれば (M^{⊥})^{⊥} = \overline{M} が成立します．これも証明してみましょう．

3 ［注意］ u = u_{1} + u_{2}, u_{1} ⊥ u_{2} ならば ∥u∥^{2} = ∥u_{1}∥^{2} + ∥u_{2}∥^{2} を示せば良いですね．これは Pythagoras （ピタゴラス）の定理の拡張です．