数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.5 （2024.4.23 出題）

 演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R6SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを後日レポート問題に指定するかもしれません．

[31] X = L^{2}(−1, 1) とし， X の部分空間 Y = {f : (−1, 1) → ℂ, f(x) = px + q | p, q ∈ ℂ} （即ち， Y は区間 (−1, 1) 上の一次関数全体）を考える．

(1) Y は X の閉部分空間であることを示せ．

（定義通りに示す必要はありません．今日の講義で学んだ性質を使えばあっという間に示せます．）

(2) g(x) = x^{2} とおく．商空間 X/Y におけるノルム∥[g]∥ を求めよ．

[32] ℓ^{∞} の部分集合 X を

X = {(a_{n})_{n=1}^{∞} ⊂ ℂ | lim_{n→∞} a_{n} が存在する}

と定める． X は ℓ^{∞} の閉部分空間であることを示せ^{1}．

[33] 前問で定義された X は ℓ^{∞} のノルムで Banach 空間となる．次に， X の部分集合 Y を

Y = {(a_{n})_{n=1}^{∞} ⊂ ℂ | lim_{n→∞} a_{n} = 0}

と定める． (1) Y は X の閉部分空間であることを示せ．

(2) (1) より，商空間 X/Y は Banach 空間となるが，どのような空間（と\underline{ノルムを含め} \underline{て}同型）であるかを具体的に記述せよ．

（裏に続く） [34] 本日の講義で，次の補題を証明した．

1演習問題 No.1 [2](1) の結果があるので，残りは X が閉集合であることを示せば良い……とお思いかもしれませんが，もう一つ大事なことがあります（ほぼ自明なことですが，言及の必要はあります）．

{\underline{補題．}X を Banach 空間， Y を X の閉部分空間で X ≠ Y とする．このとき，任 \atop 意の c ∈ (0, 1) に対し，ある u ∈ X が存在し， ∥u∥ = 1 かつ∥[u]∥ > c となる．}

(1) X が有限次元線形空間ならば（従って Y も有限次元）， ∥u∥ = 1 かつ∥[u]∥ = 1 となる u が存在することを示せ．

(2) X が Hilbert 空間ならば， ∥u∥ = 1 かつ∥[u]∥ = 1 となる u が存在することを示せ．

（Hilbert 空間の定義については次回の講義で扱います）

(3) 「∥u∥ = 1 かつ∥[u]∥ = 1」となる u ∈ X が\underline{存在しない}ような X, Y の例を挙げよ．

[35] 線形空間 X = C([−1, 1]) の元 f のノルムを ∥f∥_{2} = (∫_{−1}^{1} |f(x)|^{2} dx)^{1/2} と定義する．

(1) n ∈ ℕ に対し， f_{n}(x) = \begin{cases}0 & (−1 ≤ x < 0) \\ nx & (0 ≤ x < \frac{1}{n}) \\ 1 & (\frac{1}{n} ≤ x ≤ 1) \end{cases} とおく．関数列 (f_{n})_{n=1}^{∞} は X の

Cauchy 列であることを示せ．

(2) (1) で定義された (f_{n})_{n=1}^{∞} は X の中に極限を持たないこと，即ち (X, ∥ · ∥_{2}) は完備ではない（従って Banach 空間ではない）ことを示せ．

（同様にして C_{0}(ℝ^{N}) に ∥ · ∥_{2} というノルムを入れた空間や， Ω ⊂ ℝ^{N} を有界領域としたとき C(\overline{Ω}) に ∥ · ∥_{2} というノルムを入れた空間も完備ではありません）