数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.4 （2024.4.18 出題）

 演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R6SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを後日レポート問題に指定するかもしれません．

[22] 1 ≤ p < ∞ とする．任意の f ∈ L^{p}(ℝ) に対して，次の式が成り立つことを示せ．

lim_{t→0} ∫_{−∞}^{∞} |f(x + t) − f(x)|^{p} dx = 0.

（まずは f ∈ C_{0}(ℝ) の場合に示せ．そして C_{0}(ℝ) が L^{p}(ℝ) において稠密であることを用いる．）

[23] Ω ⊂ ℝ^{N} を可測集合とする． (L^{∞}(Ω), ∥ · ∥_{∞}) は Banach 空間であることを証明せよ．

[24] 今週の講義で次の定理を証明した．

{\underline{定理．} 1 ≤ p < ∞ のとき， C_{0}(ℝ^{N}) は L^{p}(ℝ^{N}) で稠密である． \atop 即ち， ∀f ∈ L^{p}(ℝ^{N}), ∀ε > 0, ∃g ∈ C_{0}(ℝ^{N}) s.t. ∥f − g∥_{p} < ε.}

この定理は p = ∞ のときは成り立たないことを示せ．

[25] (1) Ω ⊂ ℝ^{N} を Lebesgue 測度が有限な可測集合とする．このとき，任意の p ∈ [1, ∞) に対して L^{∞}(Ω) ⊂ L^{p}(Ω) を示せ^{1}．

(2) Ω の Lebesgue 測度が ∞ のときには， L^{∞}(Ω) と L^{p}(Ω) には包含関係はない．以下， I を開区間 (0, ∞) として，次のおのおのについて，条件を満たす関数 f の例を挙げよ．

(i) 任意の p ∈ [1, ∞) に対して f ∈ L^{p}(I) であるが， f ∉ L^{∞}(I) である関数 f． (ii) f ∈ L^{∞}(I) であるが，任意の p ∈ [1, ∞) に対して f ∉ L^{p}(I) である関数 f．

（こちらの方が (i) より簡単です）

[26] Ω ⊂ ℝ^{N} を Lebesgue 測度が有限な可測集合とし， f ∈ L^{∞}(Ω) とする（すると [25](1)

の結果より，任意の p ∈ [1, ∞) に対して f ∈ L^{p}(Ω) である）．このとき，次を示せ^{2}．

lim_{p→∞} ∥f∥_{p} = ∥f∥_{∞}

（裏に続く）

lim_{p→∞} (∫_{a}^{b} |f(x)|^{p} dx)^{1/p} = max_{x∈[a,b]} |f(x)|.

1また，演習問題 [17](1) の結果と合わせると， Ω が測度有限な可測集合ならば，任意の 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ に対して L^{p}(Ω) ⊂ L^{q}(Ω) であることが言えます．

2Lebesgue 積分に不慣れな方は，次の問題で考えていただいても構いません：

問題： f を有界閉区間 [a, b] 上の連続関数とするとき，次を示せ．両者の証明は本質的にはほとんど変わりません．なお， [25](2)(ii) の結果より，「Ω の Lebesgue 測度が有限」という仮定がないと反例があります．

[27] (1) Ω ⊂ ℝ^{N} を可測集合とし， f ∈ L^{∞}(Ω) とする．このとき， |f(x)| ≤ ∥f∥_{∞} a.e. x ∈ Ω であることを示せ^{3}．

(2) Ω ⊂ ℝ^{N} を開集合とし， f ∈ C(Ω) ∩ L^{∞}(Ω) とする．このとき，

• |f(x)| ≤ M a.e. x ∈ Ω ⟺^{同値} |f(x)| ≤ M (∀x ∈ Ω),

• ∥f∥_{∞} = sup_{x∈Ω} |f(x)|

が成り立つことを示せ．

[28] p ∈ [1, ∞) に対し， ℓ^{p} = {(a_{n})_{n=1}^{∞} ⊂ ℂ | ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}|^{p} < ∞} とおく． a = (a_{n}) ∈ ℓ^{p} に対

して ∥a∥_{ℓ^{p}} = (∑_{n=1}^{∞} |a_{n}|^{p})^{1/p} とおくと， (ℓ^{p}, ∥ · ∥_{ℓ^{p}}) は Banach 空間となる．

(1) ℓ^{1} ⊂ ℓ^{2} を示せ^{4}．

(2) ℓ^{1} は，ノルム ∥ · ∥_{ℓ^{2}} に関して ℓ^{2} の閉部分空間であるか？

[29] (1) p ∈ [1, ∞) とし， Banach 空間 ℓ^{p} を考える．

(i) X_{1} = {(a_{n})_{n=1}^{∞} ⊂ ℂ | ∃N ∈ ℕ s.t. n > N ⟹ a_{n} = 0} とおく． X_{1} は ℓ^{p} において稠密であることを示せ．

(ii) X_{2} = {(a_{n})_{n=1}^{∞} ⊂ ℂ | 次の 2 つを同時に満たす N ∈ ℕ が存在する： 1 ◯ n > N ⟹ a_{n} = 0. 2 ◯ 1 ≤ n ≤ N ⟹ Re a_{n} ∈ ℚ かつIm a_{n} ∈ ℚ. } とおくと， X_{2} は ℓ^{p} において稠密であることを示せ．

(iii) ℓ^{p} は可分であることを示せ^{5}．

(2) ℓ^{∞} は可分ではないことを示せ^{6}．

（ヒント：各項が 0 または 1 であるような数列全体を考えてみよ）

[30] (X, ∥ · ∥_{X}), (Y, ∥ · ∥_{Y}) をそれぞれ Banach 空間とする．

(1) 直積線形空間 X × Y の元 (x, y) に対し， ∥(x, y)∥ = ∥x∥_{X} + ∥y∥_{Y} と定義すると，これはノルムとなっていて，このノルムの下で X × Y は Banach 空間であることを示せ．

(2) (x, y) ∈ X × Y のノルムを |(x, y)| = \sqrt{∥x∥_{X}^{2} + ∥y∥_{Y}^{2}} と定義すると， ∥ · ∥ と | · | は X × Y 上の同値なノルムであることを示せ．従って (X × Y, | · |) も Banach 空間となる．

3講義では f ∈ L^{∞}(Ω) に対して ∥f∥_{∞} := inf{M ≥ 0 | |f(x)| ≤ M a.e. x ∈ Ω} と定義しました．この問題は， f ∈ L^{∞}(Ω) ならば inf が実は min であることを示せ，という問題です．

4実は「1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ ならば ℓ^{q} ⊂ ℓ^{p}」が成立します．このことと表面にある脚注 1 とを比べてみましょう．

5示すべきことは X_{2} が可算集合であることです．また，実は p ∈ [1, ∞) ならば L^{p}(ℝ^{N}) も可分です．

6L^{∞}(ℝ^{N}) が可分ではないことも，似たような方法で証明できます．