数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.3 （2024.4.16 出題）

演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R6SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを後日レポート問題に指定するかもしれません．

[15] 1 ≤ p < ∞ を定数とする．

(1) f(x) = \frac{1}{x^{α}} とおく．

(i) f ∈ L^{p}((0, 1]) となる実数 α の範囲を求めよ． (ii) f ∈ L^{p}([1, ∞)) となる実数 α の範囲を求めよ．

(2) g(x) = \frac{1}{1 + |x|^{α}} とおく． g ∈ L^{p}(ℝ) となる実数 α の範囲を求めよ．

（分かりにくければ，まずは p = 1 の場合に考えてみよう）

(3) h(x, y) = \frac{1}{1 + (\sqrt{x^{2} + y^{2}})^{α}} とおく． h ∈ L^{p}(ℝ^{2}) となる実数 α の範囲を求めよ．

（では ℝ^{N} 上の関数 φ(x) = \frac{1}{1 + |x|^{α}} （ただし x = (x_{1}, …, x_{N}) に対して |x| = \sqrt{x_{1}^{2} + ⋯ + x_{N}^{2}}）

を考えるとき， φ ∈ L^{p}(ℝ^{N}) となる実数 α の範囲はどうなるであろうか？）

[16] 1 ≤ p < ∞ とし， q を\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 を満たす実数とする． (1) α, β ≥ 0 ならば， (α + β)^{p} ≤ 2^{p−1}(α^{p} + β^{p}) が成立することを示せ．

(2) α, β ≥ 0 ならば， αβ ≤ \frac{α^{p}}{p} + \frac{β^{q}}{q} が成立することを示せ．

[17] （超重要！）有界開区間 (a, b) を I とおく． (1) L^{2}(I) ⊂ L^{1}(I) を示せ．より一般に，測度が有限な可測集合 Ω と，定数 1 ≤ q ≤ p < ∞

に対して L^{p}(Ω) ⊂ L^{q}(Ω) であることが示せる．（ヒント： Hölder の不等式） (2) 「任意の f ∈ L^{2}(I) に対して ∥f∥_{1} ≤ c∥f∥_{2}」を満たす最小の定数 c の値を求めよ． (3) ここでは I = (0, 1) とする． f ∈ L^{1}(I) だが f ∉ L^{2}(I) となる関数 f : I → ℂ の例

を挙げよ^{1} （従って， L^{1}(I) ⊄ L^{2}(I) である）．

(4) 一方， L^{1}(ℝ) と L^{2}(ℝ) には包含関係はないこと，即ち L^{2}(ℝ) ⊄ L^{1}(ℝ) および L^{2}(ℝ) ⊅ L^{1}(ℝ) であることを示せ^{2}．

（裏に続く） [18] 可測集合 Ω ⊂ ℝ^{N} に対し， ∫_{Ω} |f(x)|^{p} dx < ∞ を満たす可測関数全体を L^{p}(Ω) とし，

1即ち， L^{2}(I) は L^{1}(I) の真部分集合です． 2一般に， Ω の測度が ∞ の場合には L^{p}(Ω) と L^{q}(Ω) (1 ≤ q < p < ∞) の間に包含関係はありません．これと (1) の結果とを比べてください．

f ∈ L^{p}(Ω) に対し， ∥f∥_{p} := (∫_{Ω} |f(x)|^{p} dx)^{1/p} と定めると， 1 ≤ p < ∞ のときに ∥ · ∥_{p} が L^{p}(Ω) 上のノルムであることを今日の講義で示した．

さて， 0 < p < 1 の時にも上と同様に定義したいところだが，残念ながら 0 < p < 1 ならば ∥ · ∥_{p} は L^{p}(Ω) のノルムとはならない．このことを Ω が ℝ の開区間 (−1, 1) の場合

に証明せよ．（ノルムの定義のうちどれが成り立たないのであろうか？）

[19] p ∈ [1, ∞) を定数とし， (2) では Ω ⊂ ℝ^{N} を可測集合とする． (1) α, β ≥ 0 のときに |α^{p} − β^{p}| ≤ p(α^{p−1} + β^{p−1})|α − β| が成立することを示せ^{3}．

(2) f_{n} ∈ L^{p}(Ω) (∀n ∈ ℕ), f ∈ L^{p}(Ω) とする．もし関数列 (f_{n})_{n=1}^{∞} が f に L^{p}-ノルムで収束しているならば，関数列 (|f_{n}|^{p})_{n=1}^{∞} は |f|^{p} に L^{1}-ノルムで収束していることを示せ．

[20] X をノルム空間， (u_{n})_{n=1}^{∞} を X の Cauchy 列とする．いま， (u_{n})_{n=1}^{∞} のある部分列 (u_{n_{k}})_{k=1}^{∞} が存在して， (u_{n_{k}})_{k=1}^{∞} が u ∈ X に収束している

と仮定する．このとき，元の点列 (u_{n})_{n=1}^{∞} 自身が u に収束していることを示せ．

[21] p ∈ [1, ∞) を定数とする．次の 3 つの条件をすべて満たす関数列 (f_{n}) の例を挙げよ． (i) 任意の n ∈ ℕ に対して， f_{n} : [0, 1] → ℂ は可測関数．

(ii) lim_{n→∞} ∥f_{n}∥_{p} = 0．（即ち (f_{n}) は恒等的に 0 である関数に L^{p}-ノルムで収束している）

(iii) 任意の x ∈ [0, 1] に対して， lim_{n→∞} f_{n}(x) = 0 とはならない．

（即ち (f_{n}) は [0, 1] 内のすべての点で 0 に収束していない）（ただし，今日の講義で証明した定理により， (f_{n}) の部分列をうまく選べばほとんどいたるところ 0 に収束するようにできるはずである）

3p は自然数であるとは限らないことに注意しましょう． p が自然数でなければ α^{p} − β^{p} を「因数分解」することはできません！