数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.2 （2024.4.11 出題）

 演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R6SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを後日レポート問題に指定するかもしれません．

[9] X = {(a_{n})_{n=1}^{∞} | a_{n} ∈ ℂ (∀n ∈ ℕ) かつ lim_{n→∞} a_{n} が存在する} と定義すると， [2](1) の結果によって X は ℂ 上の線形空間となる．

(a_{n})_{n=1}^{∞} ∈ X に対して∥(a_{n})_{n=1}^{∞}∥ = sup_{n∈ℕ} |a_{n}| と定めると， ∥ · ∥ は X 上のノルムである

ことを示せ．

[10] (X, ∥ · ∥) をノルム空間とする． 1 点 x ∈ X と部分集合 A ⊂ X に対して dist (x, A) = inf{∥x − y∥ | y ∈ A} と定義する．

(1) A が閉集合であると仮定する．このとき， dist (x, A) = 0 ⟺ x ∈ A を示せ．

(2) F を X の閉集合， G を X の開集合とし， F ⊂ G と仮定する．このとき，連続関数 h : X → [0, 1] で， F 上では恒等的に 1， G^{c} 上では恒等的に 0 を値にもつものが存在することを示せ．

（ヒント： h(x) = \frac{dist (x, G^{c})}{dist (x, F) + dist (x, G^{c})} とすると……でも証明の際は細かい点まで注意しよう）

[11] X を有限次元線形空間とし， e_{1}, e_{2}, …, e_{k} を X の基底とする．

すると，任意の u ∈ X に対して

u = c_{1}e_{1} + c_{2}e_{2} + ⋯ + c_{k}e_{k} (c_{1}, c_{2}, …, c_{k} ∈ ℂ)

と一意的に表すことができる．このとき， ∥u∥ = max_{i=1,...,k} |c_{i}| と定義する． (1) ∥ · ∥ は X 上のノルムであることを示せ．

(2) (X, ∥ · ∥) は Banach 空間であることを示せ^{1}．

[12] 関数 f : ℝ^{N} → ℂ に対して ∥f∥_{∞} = sup_{x∈ℝ^{N}} |f(x)| とおく． (1) ノルム空間 (C_{∞}(ℝ^{N}), ∥ · ∥_{∞}) は Banach 空間であることを示せ．

(2) ノルム空間 (C_{0}(ℝ^{N}), ∥ · ∥_{∞}) は Banach 空間ではないことを示せ．

（裏に続く） [13] (1) Ω = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} < 1} とし， Ω 上で有界かつ C^{1} 級な関数 f(x, y) 全体の集合を X とおく． f ∈ X に対して ∥f∥ = sup_{(x,y)∈Ω} |f(x, y)| と定義する．

1勿論， ℂ が完備であることは用いて良いです．任意に X の Cauchy 列 (u_{n})_{n=1}^{∞} を取って， u_{n} = c_{n1}e_{1} + c_{n2}e_{2} + ⋯ + c_{nk}e_{k} と表したときに，まずは各 j = 1, …, k に対して複素数列 (c_{nj})_{n=1}^{∞} が Cauchy 列であることを示します．

(i) ∥ · ∥ は X 上のノルムであることを示せ． (ii) (X, ∥ · ∥) は Banach 空間ではないことを示せ^{2}．

(2) D = {z ∈ ℂ | |z| < 1} とし， D 上で有界かつ正則な関数 f(z) 全体の集合を Y とおく． f ∈ Y に対して ∥f∥ = sup_{z∈D} |f(z)| と定義する．

(i) ∥ · ∥ は Y 上のノルムであることを示せ．（← (1)(i) とほぼ同じですが……） (ii) (Y, ∥ · ∥) は Banach 空間であることを示せ^{3}．

（ヒント： Cauchy の積分公式から導かれる， f′(z) に関する「Cauchy の評価式」を用います）

[14] I ⊂ ℝ を区間， α ∈ (0, 1] とする． f ∈ C(I) が次の条件を満たすとき， I 上で α-Hölder 連続であると呼ぶ^{4}．

ある正定数 L が存在して， |f(x) − f(y)| ≤ L|x − y|^{α} (∀x, y ∈ I) が成立する．

(1) f(x) = |x|^{γ} が区間 (−1, 1) 上で α-Hölder 連続となるような正定数 γ の範囲を求めよ．

(2) 区間 I 上で有界かつ α-Hölder 連続な関数全体の集合を C^{α}(I) と書き， f ∈ C^{α}(I)

に対して ∥f∥_{C^{α}(I)} = sup_{x∈I} |f(x)| + sup_{x,y∈I, x≠y} \frac{|f(x) − f(y)|}{|x − y|^{α}} とおく．

(i) ∥ · ∥_{C^{α}(I)} は C^{α}(I) 上のノルムであることを示せ． (ii) (C^{α}(I), ∥ · ∥_{C^{α}(I)}) は Banach 空間であることを示せ．

集合を B^{1}(Ω) とすると， ∥f∥_{B^{1}} := sup_{(x,y)∈Ω} |f(x, y)| + sup_{(x,y)∈Ω} |f_{x}(x, y)| + sup_{(x,y)∈Ω} |f_{y}(x, y)| というノルムのも

2講義で述べたように， f(x, y), f_{x}(x, y), f_{y}(x, y) がすべて Ω 上で有界である C^{1} 級関数 f(x, y) 全体のとで B^{1}(Ω) は Banach 空間となります．

3これを (1) の結果と見比べましょう．「複素微分可能」という性質は「実 2 変数関数として微分可能」とは異なる（ずっと強い）ことがわかります．

4特に， α = 1 のときは Lipschitz 連続であると呼ばれます．