数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.12 （2024.5.21 出題）

 演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R6SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを期末試験で出題するかもしれません．

[77] X を Banach 空間とする．次を示せ．

(1) X が反射的であることと， X^{∗} が反射的であることは同値である．

(2) X^{(1)} = X^{∗}, X^{(2)} = (X^{(1)})^{∗}, …, X^{(n+1)} = (X^{(n)})^{∗}, … と定義する．このとき，次のいずれか一方のみが起こる．

(i) X は反射的（即ち， X^{(2)} ≅ X）．

(ii) X, X^{(2)}, X^{(4)}, …, X^{(2n)}, … はどの二つも同型ではない．

[78] X を Banach 空間とし（実はノルム空間で十分）， (u_{n}) ⊂ X が弱収束すると仮定する．このとき，弱極限（w- lim_{n→∞} u_{n} = u を満たす u ∈ X）はただ一つであることを証明せよ．

[79] X を Banach 空間とする．次を示せ．

(1) (u_{n}) ⊂ X が u ∈ X に弱収束するならば， (u_{n}) は有界点列であり ∥u∥ ≤ lim inf_{n→∞} ∥u_{n}∥．

(2) (u_{n}) の一次結合で書ける元全体からなる X の部分空間を L とし， L の閉包を M とする（従って M は閉部分空間）．もし (u_{n}) ⊂ X が u ∈ X に弱収束するならば， u ∈ M．（ヒント：演習問題 No.11 [74]）

(3) (φ_{n}) ⊂ X^{∗} が φ ∈ X^{∗} に汎弱収束するならば， (φ_{n}) は有界点列であり ∥φ∥ ≤

lim inf_{n→∞} ∥φ_{n}∥．

[80] H = L^{2}(0, 2π) とおく． n ∈ ℕ に対し f_{n}(x) = e^{inx} とおくとき， H の点列 (f_{n})_{n=1}^{∞} の弱極限 w- lim_{n→∞} f_{n} を求めよ．

なお，この問題では Fourier 級数の理論，または「(\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{inx})_{n∈ℤ} が L^{2}(0, 2π) の完全

正規直交系である」という事実を（証明なしに）用いて良い．

[81] (1) X を Banach 空間とし， (u_{n})_{n=1}^{∞} ⊂ X, u ∈ X とする．このとき， lim_{n→∞} u_{n} = u が成り立つならば， w- lim_{n→∞} u_{n} = u であることを示せ．

（即ち，「強収束 ⟹ 弱収束」ということです．念のためですが， lim_{n→∞} u_{n} = u とは lim_{n→∞} ∥u_{n}−u∥ = 0 のこと．）

(2) H を Hilbert 空間とし， (u_{n})_{n=1}^{∞} ⊂ H, u ∈ H とする．このとき， w- lim_{n→∞} u_{n} = u かつ lim_{n→∞} ∥u_{n}∥ = ∥u∥ が成り立つならば， lim_{n→∞} u_{n} = u であることを示せ．

（裏に続く） [82] 次の二つの条件を満たすような ℓ^{2} 上の有界線形作用素の列 (T_{m})_{m=1}^{∞} ⊂ B(ℓ^{2}) の例を

挙げよ．ただし， x = (x_{n})_{n=1}^{∞} ∈ ℓ^{2} の ℓ^{2}-ノルムを ∥x∥_{2} := (∑_{n=1}^{∞} |x_{n}|^{2})^{1/2} で表す．

(i) 0 でない任意の x ∈ ℓ^{2} に対し， (∥T_{m}x∥_{2})_{m=1}^{∞} は 0 に収束しない． (ii) 任意の x ∈ ℓ^{2} に対し， (T_{m}x)_{m=1}^{∞} は 0 に弱収束する．

[83] H を Hilbert 空間とし， (T_{n})_{n=1}^{∞} ⊂ B(H) とする．いま，任意の u ∈ H に対して w- lim_{n→∞} T_{n}u = 0 であるならば， sup_{n∈ℕ} ∥T_{n}∥ < ∞ であることを示せ．

（ヒント：一様有界性原理）

[84] 1 < p < ∞ とする． Banach 空間 ℓ^{p} の点列 x^{(k)} = (x_{n}^{(k)})_{n=1}^{∞} が 0 （= (0, 0, 0, ⋯)）に弱収束するための必要十分条件は，次の二つの条件が満たされることである．このことを示せ．

(i) sup_{k∈ℕ} ∥x^{(k)}∥_{p} < ∞ （即ち点列 (x^{(k)})_{k=1}^{∞} は ℓ^{p} で有界である）

(ii) 任意の n ∈ ℕ に対して lim_{k→∞} x_{n}^{(k)} = 0．

（注意：同様の命題は c_{0} でも成立します．）

[85] 次の二つの条件を満たすような L^{∞}(ℝ) の点列 (f_{n})_{n=1}^{∞} の例を挙げよ．

(i) (f_{n})_{n=1}^{∞} は 0 に汎弱収束する．（注意： L^{∞}(ℝ) = (L^{1}(ℝ))^{∗} である）

(ii) (f_{n})_{n=1}^{∞} は 0 に弱収束しない．

（注意： (L^{∞}(ℝ))^{∗} ⊃ L^{1}(ℝ) だが， (L^{∞}(ℝ))^{∗} ≠ L^{1}(ℝ) であった）